www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Diagonalmatrix
Diagonalmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:37 Do 24.05.2012
Autor: triad

Aufgabe
Wir betrachten [mm] \IR^3 [/mm] als euklidischen Vektorraum mit Standardskalarprodukt. Sei

[mm] A=\pmat{ 2 & -1 & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 }\in M_{3\times 3}(\IR) [/mm]

gegeben. Finden sie eine orthogonale Matrix [mm] S\in GL_3(\IR), [/mm] so dass $S^TAS$ eine Diagonalmatrix ist.

Hallo,

die Eigenwerte/-vektoren von A sind:

[mm] \lambda_1=3 [/mm] mit Vielfachheit 2, E.V.: [mm] v_1=(1,0,1)^T, v_2=(-1,1,0)^T [/mm]
[mm] \lambda_2=0 [/mm] mit Vielfachheit 1, [mm] v_3=(-1,-1,1)^T [/mm]

Diese sind überprüft und korrekt. Damit wäre die Matrix aus Eigenvektoren

[mm] S=\pmat{ -1 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm]

und mit ihr gilt [mm] $S^{-1}AS$=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }, [/mm] also die Diagonalmatrix von A mit den Eigenwerten.

Jetzt ist aber in der Aufgabenstellung gefordert, dass S orthogonal sein soll, dass also gilt [mm] S^TS=E_3 [/mm] bzw. [mm] S^T=S^{-1}, [/mm] was mit diesem S nicht erfüllt ist. Was also ist noch zu tun, damit auch $S^TAS$ gilt?

        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:45 Do 24.05.2012
Autor: fred97

Bastle aus [mm] \{v_1,v_2,v_3\} [/mm] eine Orthonormalbasis  [mm] \{b_1,b_2,b_3\} [/mm] des [mm] \IR^3 [/mm] so, dass

    [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] Eigenvektoren zu [mm] \lambda_1 [/mm] sind und [mm] b_3 [/mm] ein Eigenvekzor zu [mm] \lambda_2 [/mm] ist

FRED

Bezug
                
Bezug
Diagonalmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:34 Do 24.05.2012
Autor: triad


> Bastle aus [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] eine Orthonormalbasis  
> [mm]\{b_1,b_2,b_3\}[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] so, dass
>  
> [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] Eigenvektoren zu [mm]\lambda_1[/mm] sind und [mm]b_3[/mm] ein
> Eigenvekzor zu [mm]\lambda_2[/mm] ist
>  
> FRED


OK. Ich weiss aber nicht, ob ich das richtig vertehe. Ich habe jetzt auf die Basis V bestehend aus den Eigenvektoren

[mm] (v_1,v_2,v_3)=$\left (\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}\right [/mm] )$ Gram-Schmidt angewendet und die ONB [mm] W=(w_1,w_2,w_3)=$\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\frac{1}{3}\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}\right [/mm] )$ erhalten.

Dann die [mm] w_i [/mm] in eine Matrix M gepackt und geprüft, ob [mm] $M^T [/mm] = [mm] M^{-1}$ [/mm] gilt. Das sah schon ganz gut aus, aber haut noch nicht hin.

Danke für die Hilfe

Bezug
                        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:44 Do 24.05.2012
Autor: fred97


> > Bastle aus [mm]\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] eine Orthonormalbasis  
> > [mm]\{b_1,b_2,b_3\}[/mm] des [mm]\IR^3[/mm] so, dass
>  >  
> > [mm]b_1[/mm] und [mm]b_2[/mm] Eigenvektoren zu [mm]\lambda_1[/mm] sind und [mm]b_3[/mm] ein
> > Eigenvekzor zu [mm]\lambda_2[/mm] ist
>  >  
> > FRED
>
>
> OK. Ich weiss aber nicht, ob ich das richtig vertehe. Ich
> habe jetzt auf die Basis V bestehend aus den Eigenvektoren
>  
> [mm](v_1,v_2,v_3)=[/mm] [mm]\left (\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\vektor{-1 \\ 1 \\ 0}\right )[/mm]
> Gram-Schmidt angewendet und die ONB [mm]W=(w_1,w_2,w_3)=[/mm] [mm]\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\frac{1}{3}\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}\right )[/mm]
> erhalten.

Das ist aber keine ONB

FRED

>  
> Dann die [mm]w_i[/mm] in eine Matrix M gepackt und geprüft, ob [mm]M^T = M^{-1}[/mm]
> gilt. Das sah schon ganz gut aus, aber haut noch nicht
> hin.
>  
> Danke für die Hilfe


Bezug
                                
Bezug
Diagonalmatrix: Fertig.
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:56 Do 24.05.2012
Autor: triad

elende Hitze ...

ich hatte eine Wurzel vergessen:

$ [mm] W=\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\wurzel{\frac{2}{3}}\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 1/2}\right [/mm] ) $

dann ist [mm] M=\pmat{ -\frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & -\frac{1}{\wurzel{6}} \\ -\frac{1}{\wurzel{3}} & 0 & \wurzel{\bruch{2}{3}} \\ \frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & \frac{1}{\wurzel{6}} } [/mm]

und nun klappt auch [mm] $M^T=M^{-1}$. [/mm]



Bezug
                                        
Bezug
Diagonalmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:48 Sa 26.05.2012
Autor: argon7


> elende Hitze ...
>
> ich hatte eine Wurzel vergessen:
>  
> [mm]W=\left (\frac{1}{\wurzel{3}}\vektor{-1 \\ -1 \\ 1},\frac{1}{\wurzel{2}}\vektor{1 \\ 0 \\ 1},\wurzel{\frac{2}{3}}\vektor{-1/2 \\ 1 \\ 1/2}\right )[/mm]
>  
> dann ist [mm]M=\pmat{ -\frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & -\frac{1}{\wurzel{6}} \\ -\frac{1}{\wurzel{3}} & 0 & \wurzel{\bruch{2}{3}} \\ \frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & \frac{1}{\wurzel{6}} }[/mm]
>  
> und nun klappt auch [mm]M^T=M^{-1}[/mm].
>  
>  

also diese Matrix erfüllt aber nicht oben genanntes, also sprich [mm] M^T*A*M=\pmat{ \lambda 1 & 0 \\ 0 & \lambda n } [/mm] ?



Bezug
                                                
Bezug
Diagonalmatrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:02 So 27.05.2012
Autor: triad

Hallo.

> >  

> also diese Matrix erfüllt aber nicht oben genanntes, also
> sprich [mm]M^T*A*M=\pmat{ \lambda 1 & 0 \\ 0 & \lambda n }[/mm] ?
>  
>  

Doch. Mit $ [mm] M=\pmat{ -\frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & -\frac{1}{\wurzel{6}} \\ -\frac{1}{\wurzel{3}} & 0 & \wurzel{\bruch{2}{3}} \\ \frac{1}{\wurzel{3}} & \frac{1}{\wurzel{2}} & \frac{1}{\wurzel{6}} } [/mm] $ und A aus der Aufgabenstellung gilt $ [mm] M^T=M^{-1} [/mm] $ und $ [mm] M^TAM=\pmat{ \lambda_1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_2 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 }=\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 } [/mm] $

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]