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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Diagonalähnlich
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Diagonalähnlich: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Di 29.05.2012
Autor: VanDamme90

Aufgabe
Untersuchen sie, ob die folgenden 2X2 matrizen diagonalähnlich sind. bestimmen sie ( falls möglich ) eine reguläre matrix P, die die vorgegebene matrix in eine diagonalmatrix  überführt.

a) A = [mm] \pmat{ 1 & i \\ i & -1 } [/mm]    b) B = [mm] \pmat{ i & 1 \\ 2 & -i } [/mm]

Ich bräucht hierzu mal hilfe; im skript gibt es hierzu kein beispiel wie man 2 matrizen überhaupt auf diagonalähnlichkeit überprüft.

Ich habe lediglich folgenden Ansatz:

2 Matrizen matrizen heißen ähnlich, wenn es eine reguläre matrix P gibt mit

B = [mm] P^{-1}AP [/mm]

Könnte mir jemand erklären wie man daran geht.
Danke im voraus

        
Bezug
Diagonalähnlich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 Di 29.05.2012
Autor: Adamantin


> Untersuchen sie, ob die folgenden 2X2 matrizen
> diagonalähnlich sind. bestimmen sie ( falls möglich )
> eine reguläre matrix P, die die vorgegebene matrix in eine
> diagonalmatrix  überführt.
>  
> a) A = [mm]\pmat{ 1 & i \\ i & -1 }[/mm]    b) B = [mm]\pmat{ i & 1 \\ 2 & -i }[/mm]
>  
> Ich bräucht hierzu mal hilfe; im skript gibt es hierzu
> kein beispiel wie man 2 matrizen überhaupt auf
> diagonalähnlichkeit überprüft.
>  
> Ich habe lediglich folgenden Ansatz:
>  
> 2 Matrizen matrizen heißen ähnlich, wenn es eine
> reguläre matrix P gibt mit
>  
> B = [mm]P^{-1}AP[/mm]
>  
> Könnte mir jemand erklären wie man daran geht.
>  Danke im voraus  

Meint Diagonalähnlich Diagonalisierbar? Ich kenne nur den Begriff Diagonalisierbarkeit, der eine Matrix A in ihre ähnliche Matrix B überführt, wobei B eine Diagonalmatrix ist, also $diag(...)$. Ich verstehe die Aufgabe so, dass du zu den Gegebenen Matrizen die Matrix P finden sollst, die die beiden in ihre ähnliche Diagonalmatrix überführt, und nicht etwa A in B, wie ich zuerst verstanden hatte. Aber es steht ja da, geben sie die Matrix P an die A in die ähnliche Diag(...) überführt, daher sollst du sie einfach diagonalisieren.

Dazu brauchst du die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix. Die Matrix P enthält dann als Spalten die Eigenvektoren, ihre Inverse ist dann klar zu berechnen und für die Diagonalmatrix gilt dann [mm] $D=P^{-1}AP$ [/mm]

Tipp: Man sieht dann anhand der Eigenwerte bzw. spätestens Eigenvektoren schnell, dass eine diagonalisierbar ist und die andere nicht.


Bezug
                
Bezug
Diagonalähnlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:26 Di 29.05.2012
Autor: VanDamme90

Okay danke, ich probiers mal so.

Bezug
                        
Bezug
Diagonalähnlich: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Di 29.05.2012
Autor: Adamantin

Wenn du Hilfe oder einen weiteren Ansatz brauchst, sag Bescheid. Ich weiß ja nicht, ob ihr Eigenwerte und -vektoren schon hattet. Eventuell geht es auch anders, das waren jedenfalls die Mittel, die wir in Mathe II dafür gelernt haben ;)

Bezug
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