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| Aufgabe | Es sei der [mm] \IR-Vektorraum V={f(x)\in \IR[x]grad (f(X)\le 3} [/mm] mit der Basis [mm] A=(1,x,x^2,x^3) [/mm] gegeben. Weiter sei g: [mm] V\to [/mm] V die lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix bezüglich der Basis A gegeben ist durch
[mm] M_A^A(g)=\pmat{ -3 & -2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 1}
[/mm]
Durch die familie [mm] B=(x^2+x, x-1,x^2,x^3-x) [/mm] ist eine weitere Basis von V gegeben.
Bestimme die Darstellungsmatrix [mm] M_B^B(g) [/mm] von g bezüglich B. |
Das Sprüchlein von Angela zur Darstellungsmatrix kenne ich nun auswendig.
Ich weiß nun nur nicht genau wie ich die Bilder der Vektoren aus B bilde. Die Darstellungsmatrix zur Basis B ist meine Abbildung. Nur wie setze ich die um?
MfG
Mathegirl
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> Es sei der [mm]\IR-Vektorraum V={f(x)\in \IR[x]grad (f(X)\le 3}[/mm]
> mit der Basis [mm]A=(1,x,x^2,x^3)[/mm] gegeben. Weiter sei g: [mm]V\to[/mm] V
> die lineare Abbildung, deren Darstellungsmatrix bezüglich
> der Basis A gegeben ist durch
>
> [mm]M_A^A(g)=\pmat{ -3 & -2 & 1 & -2 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & -1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & -1 & 1}[/mm]
>
> Durch die familie [mm]B=(x^2+x, x-1,x^2,x^3-x)[/mm] ist eine weitere
> Basis von V gegeben.
>
> Bestimme die Darstellungsmatrix [mm]M_B^B(g)[/mm] von g bezüglich
> B.
>
> Das Sprüchlein von Angela zur Darstellungsmatrix kenne ich
> nun auswendig.
Hallo,
Es gibt hier mehrere Wege, auf denen man zum Ziel kommt.
Ich schildere 2:
1.
Dir ist klar, daß Du für die Spalten des gesuchten Matrix die Bilder der Basisvektoren von B brauchst - und zwar in Koordinaten bzgl B.
Das Problem: die Matrix [mm] M_A^A(g) [/mm] "frißt" nur Vektoren, die in Koordinaten bzgl. B gegeben sind.
Lösung: Basisvektoren von B schreiben in Koordinaten bzgl A, was hier besonders einfach ist, weil A die Standardbasis des Polynomraumes ist.
Ich mache es für den ersten Vektor vor:
[mm] b_1:=x^2+x=0*1+1*x+1*x_2+0*x^3=\vektor{0\\1\\1\\0}_{(A)}
[/mm]
Nun mit der Darstellungsmatrix [mm] M_A^A(g) [/mm] sein Bild in Koordinaten bzgl A ausrechnen:
[mm] g(b_1)=M_A^A(g)*\vektor{0\\1\\1\\0}_{(A)}=\vektor{-1\\1\\0\\0}_{(A)}=-1*1+1*x=-1+x
[/mm]
Den mußt Du nun noch in einen Koordinatenvektor bzgl B umwandeln, also Koeffizienten a,b,c,d bestimmen mit
[mm] g(b_1)=...=-1+x=a*(x^2+x)+b*(x-1)+c*x^2 +d(x^3-x)$=\vektor{...\\...\\...\\...}_{(B)}.
[/mm]
Damit hast Du dann die erste Spalte der Matrix.
2.
Du kannst auch mit der Formel für die Basistransformation arbeiten:
Es gilt: [mm] M_B^B(g)=M_B^A(id)*M_A^A(g)*M^B_A(id)=(M_A^B(id))^{-1}*M_A^A(g)*M^B_A(id).
[/mm]
Zur Bestimmung der Matrix [mm] M_A^B(id) [/mm] habe ich Dir gestern oder vorgestern etwas geschrieben - in dem Post mit der Korrekturmitteilung.
LG Angela
> Ich weiß nun nur nicht genau wie ich die Bilder der
> Vektoren aus B bilde. Die Darstellungsmatrix zur Basis B
> ist meine Abbildung. Nur wie setze ich die um?
>
> MfG
> Mathegirl
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Danke für deine ausführliche Erklärung angela! Aber darauf wäre ich selbst nie gekommen....
[mm] g(b_1)=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] b_2=x-1=(-1)*1+1*x+0*x^2+0*x^3=\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] g(b_2)=M_A^A(g)*\vektor{-1 \\ 1 \\ 0 \\ 0}=
[/mm]
[mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1} [/mm] = [mm] 1*1+1*x+1*x^2-1*x^3= 1+x+x^2-x^3
[/mm]
[mm] g(b_2)=...=1+x+x^2-x^3=1*(x^2+x)+(-1)(x-1)+0*(x^2)+(-1)*(x^3-x)
[/mm]
[mm] =\vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ -1}
[/mm]
[mm] g_3=x^2=0*1+0*x+1*x^2+0*x^3= \vektor{0 \\ \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] g(b_3)=M_A^A(g)*\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] g(b_2) [/mm] und [mm] g(b_3) [/mm] sind also gleich
[mm] b_4=x^3-x=(-1)*1+0*x+0*x+1*x^3=\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] M_A^A(g)*\vektor{-1 \\ 0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
also wieder gleich [mm] b_2, b_3
[/mm]
Dann lautet die Darstellungsmatrix
[mm] M_B^B(g)=\pmat{ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -1}
[/mm]
Stimmt das soweit?
MfG
Mathegirl
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Hallo,
soweit ich sehe, ist Deine Matrix richtig.
Du hast auf jeden Fall verstandne, was Du tun solltest.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 Fr 23.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Warum ergibt sich die Matrix auf diese Weise:
$ [mm] M_B^B(g)=M_B^A(id)\cdot{}M_A^A(g)=(M_A^B(id))^{-1}\cdot{}M_A^A(g). [/mm] $
Ich habe in einem Buch gelesen, dass wenn:
V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, B und B' Basen von V sind und der Endomorphismus f von V bezüglich der Basis B die Koordinatenmatrix A besitzt, so gehört zu f bezüglich der Basis B' die Koordinatenmatrix
A'= [mm] S^{-1}AS
[/mm]
Und S ist die Übergangsmatrix von B nach B'.
Die Übergangsmatrix würde ich ja normalerweise bestimmen, indem ich die Basisvektoren der Basis B darstelle als den Basisvektor von B'.
Also in diesem Fall stelle ich zunächst die Basisvektoren von B durch die von A dar:
1 = [mm] 1(x^2+x)-1(x-1)-1(x^2)+0(x^3-x)
[/mm]
x = [mm] 1(x^2+x)+0(x-1)-1(x^2)+0(x^3-x)
[/mm]
[mm] x^2 [/mm] = [mm] 0(x^2+x)+0(x-1)+1(x^2)+0(x^3-x)
[/mm]
[mm] x^3= 1(x^2+x)+0(x-1)-1(x^2)+1(x^3-x)
[/mm]
Folglich ist die Übergangsmatrix von A nach B:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Die Inverse lautet dann:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Nun bestimme kann ich die Matrix bezüglich der Basis B bestimmen mit der Formel:
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \pmat{ -3 & -2 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ -2 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -1 & 1} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -1 & 2 \\ -6 & -9 & 3 & -12 \\ -4 & -7 & 2 & -10 \\ 2 & 3 & -1 & 4 }
[/mm]
Das stimmt aber nicht mit dem Ergebnis überein, welches ich erhalte, wenn ich die in 1 beschriebene Möglichkeit wähle.
Wo liegt denn der Fehler?
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> Warum ergibt sich die Matrix auf diese Weise:
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> [mm]M_B^B(g)=M_B^A(id)\cdot{}M_A^A(g)=(M_A^B(id))^{-1}\cdot{}M_A^A(g).[/mm]
Hallo,
gut, daß es Dich gibt, und Du nochmal ein bißchen nacharbeitest:
ich hatte in der Formel die Hälfte zu tippen vergessen.
Richtig ist
[mm]M_B^B(g)=M_B^A(id)\cdot{}M_A^A(g)*M_A^B(id)=(M_A^B(id))^{-1}\cdot{}M_A^A(g)*M_A^B(id).[/mm]
>
> Ich habe in einem Buch gelesen, dass wenn:
> V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, B und B' Basen von V
> sind und der Endomorphismus f von V bezüglich der Basis B
> die Koordinatenmatrix A besitzt, so gehört zu f bezüglich
> der Basis B' die Koordinatenmatrix
> A'= [mm]S^{-1}AS[/mm]
> Und S ist die Übergangsmatrix von B nach B'.
Nein, wenn die Bezeichnungen so sind, wie Du hier sagst, dann muß S de Übergangsmatrix von B' nach B sein.
>
> Die Übergangsmatrix würde ich ja normalerweise bestimmen,
> indem ich die Basisvektoren der Basis B darstelle als den
> Basisvektor von B'.
>
> Also in diesem Fall stelle ich zunächst die Basisvektoren
> von B durch die von A dar:
> 1 = [mm]1(x^2+x)-1(x-1)-1(x^2)+0(x^3-x)[/mm]
> x = [mm]1(x^2+x)+0(x-1)-1(x^2)+0(x^3-x)[/mm]
> [mm]x^2[/mm] = [mm]0(x^2+x)+0(x-1)+1(x^2)+0(x^3-x)[/mm]
> [mm]x^3= 1(x^2+x)+0(x-1)-1(x^2)+1(x^3-x)[/mm]
>
> Folglich ist die Übergangsmatrix von A nach B:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm][mm] =M^A_B(id)
[/mm]
>
> Die Inverse lautet dann:
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm][mm] =M^B_A(id)
[/mm]
>
> Nun bestimme kann ich die Matrix bezüglich der Basis B
> bestimmen mit der Formel:
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm] * [mm]\pmat{ -3 & -2 & 1 & -2 \\
-1 & 0 & 1 & 0 \\
-2 & -1 & 1 & -1 \\
2 & 1 & -1 & 1}[/mm] * [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & -1 & 1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 1 }[/mm] = [mm]\pmat{ 2 & 2 & -1 & 2 \\
-6 & -9 & 3 & -12 \\
-4 & -7 & 2 & -10 \\
2 & 3 & -1 & 4 }[/mm]
Du multiplizierst in der falschen Reihenfolge.
Man muß [mm]M_{\blue{B}}^B(g)=M_{\blue{B}}^{\green{A}}(id)\cdot{}M_{\green{A}}^{\red{A}}(g)*M_{\red{A}}^B(id)[/mm] rechnen.
LG Angela
>
> Das stimmt aber nicht mit dem Ergebnis überein, welches
> ich erhalte, wenn ich die in 1 beschriebene Möglichkeit
> wähle.
> Wo liegt denn der Fehler?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Fr 23.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Das verstehe ich nun aber nicht.
Zuerst einmal steht in dem Buch von Falko Lorenz: Lineare Algebra 1 dieser Satz so, wie ich ihn hereingeschrieben habe.
Zunächst stelle ich mir die "innere" Abbildung vor. Diese ist durch die Matrix A beschrieben.
Nun zu den "äußeren Abbildungen", in Bezug auf die Basis B. Zunächst muss ich also von der Basis B "in die Basis A kommen". Hierfür benötige ich die Übergangsmatrix von A nach B. Dann kommt die eben schon beschriebene Matrix [mm] M_A^A(g) [/mm] und anschließend die Übergangsmatrix von A nach B.
Fasse ich das zusammen:
Zuerst muss die Übergangsmatrix von B nach A angewendet werden.
Sie steht ganz rechts, da die Multiplikation von Matrizen als Verkettung definiert ist, usw:
[mm] M_B^B(g)=M_A^B(g)*M_A^A(g)*M_B^A(g)
[/mm]
Bedeutet, es also, dass in dem Satz aus dem Buch stehen müsste:
... Und S ist die Übergangsmatrix von B' nach B.
Nebenbei erscheint mir aber diese Art der Berechnung aufwendiger zu sein (Inversenberechnung und bestimmung von Übergangsmatrix sowie zweimalige Multiplikation)
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Hallo,
bevor wir weiterreden, sollten wir womöglich zunächst einmal Bezeichnungen klären. Sie sind nämlich überhaupt nicht einheitlich.
Bei mir ist [mm] M^A_B(id) [/mm] bzw. [mm] _BM(id)_A [/mm] die Matrix, welche mir, wenn ich sie mir einem Koordinatenvektor bzgl A multipliziere, denselben Vektor in Koordinaten bzgl B liefert,
entsprechend ist [mm] M^A_B(g) [/mm] bzw. [mm] _BM(g)_A [/mm] die Matrix, welche mir, multipliziere ich sie mit einem Koordinatenvektor bzgl A, dessen Bild unter g in Koordinaten bzgl B liefert.
Bedeutet bei Euch womöglich [mm] M^A_B(id) [/mm] genau das Umgekehrte?
Ich schlage vor, wir nehmen zur besseren Verständigung die Schreibweise
[mm] _DM(f)_C:
[/mm]
rechts steht, mit welchen Koordinatenvektoren gefüttert (=multipliziert) wird (hier: bzgl C), f ist die Abbildung, rechts steht die Basis, bzgl derer die Ergebnisse der Multiplikation sind (hier:D). Okay?
> Das verstehe ich nun aber nicht.
> Zuerst einmal steht in dem Buch von Falko Lorenz: Lineare
> Algebra 1 dieser Satz so, wie ich ihn hereingeschrieben
> habe.
>
> Zunächst stelle ich mir die "innere" Abbildung vor. Diese
> ist durch die Matrix A beschrieben.
Das ist die Matrix, die man mit Koordinatenvektoren bzgl A füttert, und die deren Bild unter g in Koordinaten bzgl A liefert, also [mm] _AM(g)_A.
[/mm]
> Nun zu den "äußeren Abbildungen", in Bezug auf die Basis
> B. Zunächst muss ich also von der Basis B "in die Basis A
> kommen".
Ja.
> Hierfür benötige ich die Übergangsmatrix von A
> nach B.
Nein. Du willst doch einen B-Vektor in einen A-Vektor verwandeln, damit [mm] _AM(g)_A [/mm] ihn fressen und verdauen kann.
[mm] _AM(g)_A*_AM(id)_B*(Koordinatenvektor [/mm] bzgl B) funktioniert,
hingegen kann die Matrix [mm] _AM(g)_A [/mm] mit
[mm] _AM(g)_A*_BM(id)_A [/mm] nichts anfangen, denn [mm] _BM(id)_A [/mm] liefert für sie Ungenießbares.
> Dann kommt die eben schon beschriebene Matrix
> [mm]M_A^A(g)[/mm] und anschließend die Übergangsmatrix von A nach
> B.
Richtig ist in der Schreibweise von oben
[mm] _BM(g)_B= _BM(id)_A*_AM(g)_A*_AM(id)_B.
[/mm]
Rechts kann man auf beiden Seiten einen B-Vektor anfüttern, und raus kommt beide Male ebenfalls ein B-Vektor.
In dieser Schreibweise ist
$ [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] $ [mm] =_BM(id)_A [/mm] $
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> Die Inverse lautet dann:
> $ [mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 } [/mm] $$ [mm] =_AM(id)_B [/mm] $
>
> Fasse ich das zusammen:
> Zuerst muss die Übergangsmatrix von B nach A angewendet
> werden.
> Sie steht ganz rechts, da die Multiplikation von Matrizen
> als Verkettung definiert ist,
Ja.
usw:
> [mm]M_B^B(g)=M_A^B(g)*M_A^A(g)*M_B^A(g)[/mm]
Entweder sind Eure Bezeichnungen so, daß die Startbasis unten steht,
oder Du hast es genau verkehrt herum aufgeschrieben.
>
> Bedeutet, es also, dass in dem Satz aus dem Buch stehen
> müsste:
> ... Und S ist die Übergangsmatrix von B' nach B.
>
> Nebenbei erscheint mir aber diese Art der Berechnung
> aufwendiger zu sein (Inversenberechnung und bestimmung von
> Übergangsmatrix sowie zweimalige Multiplikation)
Hm, eigentlich nicht.
Vor allem muß man (wenn erstmal die Bezeichnungen geklärt sind und man die Angelegenheit als solche gecheckt hat) nichts mehr denken, sondern bloß noch in Manier eines abgerichteten Schimpansen rechnen.
Bei der zuerst geschilderten Methode hatte man auch einiges zu tun:
die 3 Vektoren der Basis B in solche bzgl A umwandeln, die drei Umgewandelten mit [mm] _AM(g)_A [/mm] multiplizieren, und dann 3 LGSe lösen, mit welchen man aus den A-Bildern B-Bilder machen konnte.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:02 Sa 24.03.2012 | | Autor: | yangwar1 |
Jetzt habe ich es glaube ich verstanden. Mein Problem war, dass ich nicht mehr an die Definition der Matrizenmultiplikation gedacht habe und daher die Übergangsmatrix von [mm] M^B_A [/mm] zuerst hingeschrieben habe.
Zuerst stellt man also jeden Basisvektor aus B durch A dar, was die Matrix [mm] M^B_A(f) [/mm] ergibt. Anschließend dann die Matrix [mm] M^A_A(f) [/mm] und dann noch [mm] M^A_B:
[/mm]
Das alles nun in umgedrehter Reihenfolge ergibt:
[mm] M^B_B(g)=M^A_B(g)*M^A_A(g)*M^B_A(g)
[/mm]
Anstatt [mm] M^A_B(g) [/mm] muss es vermutlich noch [mm] M^A_B(id) [/mm] heißen, da die Abbildung g nur "innen" existiert.
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> Jetzt habe ich es glaube ich verstanden. Mein Problem war,
> dass ich nicht mehr an die Definition der
> Matrizenmultiplikation gedacht habe und daher die
> Übergangsmatrix von [mm]M^B_A[/mm] zuerst hingeschrieben habe.
>
> Zuerst stellt man also jeden Basisvektor aus B durch A dar,
> was die Matrix [mm]M^B_A(f)[/mm] ergibt.
Hallo,
die Matrix [mm] M^B_A(id). [/mm] Die Vektoren bleiben ja unverändert, werden bloß durch eine andere Basis dargestellt.
> Anschließend dann die
> Matrix [mm]M^A_A(f)[/mm] und dann noch [mm]M^A_B:[/mm]
> Das alles nun in umgedrehter Reihenfolge ergibt:
Genau. Man muß beim Verketten von Funktionen von rechts nach links denken und entsprechend bei der Multiplikation der zugehörigen Matrizen.
> [mm]M^B_B(g)=M^A_B(g)*M^A_A(g)*M^B_A(g)[/mm]
>
> Anstatt [mm]M^A_B(g)[/mm] muss es vermutlich noch [mm]M^A_B(id)[/mm] heißen,
> da die Abbildung g nur "innen" existiert.
Genau. S.o.
Freut mich, daß Du es verstanden hast!
LG Angela
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