Cauchy Integralformel < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 So 13.05.2012 | | Autor: | mathe456 |
Hi,
ich soll [mm] \integral_{|z| = 1} {\bruch{sin z + cos z -1}{z^{n}} dz} [/mm] berechnen.
Kann man die Cauchy Integralformel verwenden?
Mein Ansatz ist:
Sei f(w) = sin w + cos w - 1.
Dann ist
[mm] 2\pi [/mm] i*f(0) = [mm] \integral_{|z| = 1} {\bruch{f(w)}{z^n -0} dx}
[/mm]
= [mm] 2\pi [/mm] i (sin 0 + cos 0 -1) = 0.
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> Hi,
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> ich soll [mm]\integral_{|z| = 1} {\bruch{sin z + cos z -1}{z^{n}} dz}[/mm]
> berechnen.
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> Kann man die Cauchy Integralformel verwenden?
ja
> Mein Ansatz ist:
>
> Sei f(w) = sin w + cos w - 1.
> Dann ist
>
> [mm]2\pi[/mm] i*f(0) = [mm]\integral_{|z| = 1} {\bruch{f(w)}{z^n -0} dx}[/mm]
Im Nenner steht [mm] z^n. [/mm] Das bedeutet, dass auf der linken Seite [mm] \frac{2\pi i}{(n-1)!}*f^{(n-1)}(0) [/mm] stehen muss.
Damit musst du eine Fallunterscheidung in Abhängigkeit von n machen.
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> = [mm]2\pi[/mm] i (sin 0 + cos 0 -1) = 0.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 So 13.05.2012 | | Autor: | mathe456 |
Danke für die Antwort!
Dann heißt die Formel ja
[mm] \bruch{2\pi i}{(n-1)!} f^{n-1} [/mm] (z) = [mm] \integral_{}{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^n} dw}
[/mm]
Dann muss man folgende Fälle unterscheiden, sei m [mm] \in \IN [/mm] :
Fall 1: Für n=1: [mm] f^{n-1} [/mm] = sin z + cos z -1
Fall 2: Für n=4m+2 : [mm] f^{n-1} [/mm] = cos z -sin z
Fall 3: Für n=4m+3 : [mm] f^{n-1} [/mm] = -sin z - cos z
Fall 4: Für n =4m+4 : [mm] f^{n-1} [/mm] = -cos z + sin z
Fall 5: Für n =4m+1 : [mm] f^{n-1}= [/mm] sin z + cos z
Ergebnisse durch einsetzen:
Fall 1: 0
Fall 2: [mm] \bruch{2\pi i}{(4m+1)!}
[/mm]
Fall 3: [mm] \bruch{-2\pi i}{(4m+2)!}
[/mm]
Fall 4: [mm] \bruch{-2\pi i}{(4m+3)!}
[/mm]
Fall 5: [mm] \bruch{2\pi i}{(4m)!}
[/mm]
Stimmt das?
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> Danke für die Antwort!
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> Dann heißt die Formel ja
>
> [mm]\bruch{2\pi i}{(n-1)!} f^{n-1}[/mm] (z) =
> [mm]\integral_{}{}{\bruch{f(w)}{(w-z)^n} dw}[/mm]
>
> Dann muss man folgende Fälle unterscheiden, sei m [mm]\in \IN[/mm]
> :
> Fall 1: Für n=1: [mm]f^{n-1}[/mm] = sin z + cos z -1
> Fall 2: Für n=4m+2 : [mm]f^{n-1}[/mm] = cos z -sin z
> Fall 3: Für n=4m+3 : [mm]f^{n-1}[/mm] = -sin z - cos z
> Fall 4: Für n =4m+4 : [mm]f^{n-1}[/mm] = -cos z + sin z
> Fall 5: Für n =4m+1 : [mm]f^{n-1}=[/mm] sin z + cos z
>
> Ergebnisse durch einsetzen:
> Fall 1: 0
> Fall 2: [mm]\bruch{2\pi i}{(4m+1)!}[/mm]
> Fall 3: [mm]\bruch{-2\pi i}{(4m+2)!}[/mm]
>
> Fall 4: [mm]\bruch{-2\pi i}{(4m+3)!}[/mm]
> Fall 5: [mm]\bruch{2\pi i}{(4m)!}[/mm]
>
> Stimmt das?
>
ja, alles richtig
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:23 So 13.05.2012 | | Autor: | mathe456 |
Danke!:)
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