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Bruchrechnung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:54 Mo 16.04.2012
Autor: Tony1234

Aufgabe
Prüfung auf Monotonie.. leider komme ich nicht weiter

...

[mm] \(=\bruch{1}{2n(n+1)}-\bruch{1}{2n} [/mm]

Hallo,
bis zu diesem Therm habe ich die Aufgabe berechnet... laut Musterlösung müsste es wie folgt weitergehen, leider erkenne ich nciht, wie ich zu diesem Therm komme.

--> [mm] \(=\bruch{n-(n+1)}{2n(n+1)} [/mm]

Wenn ich die Brüche Kreuzmultipliziere, um auf einen gleichen Nenner zu kommen, bekomme ich ganz andere Zahlen raus!

        
Bezug
Bruchrechnung: Brüche korrekt?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 Mo 16.04.2012
Autor: Roadrunner

Hallo Tony!


Kann es vielleicht sein, dass im ersten Bruch ein $n_$ zuviel ist?
Dann kommt das gewünschte Ergebnis nämlich auch wirklich heraus.


Gruß vom
Roadrunner


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Bruchrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:01 Mo 16.04.2012
Autor: Tony1234

Hallo, Tut mir leid, da habe ich mich etwas verschrieben.

[mm] \(=\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2n} [/mm]

Trotzdem sehe ich leider nicht, wie ich auf Folgenden Bruch komme:

[mm] \bruch{n-(n+1)}{2n(n+1)} [/mm]


Gruß Tony

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Bruchrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:06 Mo 16.04.2012
Autor: fred97


> Hallo, Tut mir leid, da habe ich mich etwas verschrieben.
>  
> [mm]\(=\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2n}[/mm]
>  
> Trotzdem sehe ich leider nicht, wie ich auf Folgenden Bruch
> komme:
>  
> [mm]\bruch{n-(n+1)}{2n(n+1)}[/mm]

[mm]\(=\bruch{1}{2(n+1)}-\bruch{1}{2n}[/mm]= [mm] \bruch{2n-2(n+1)}{2(n+1)*2n} [/mm]

Jetzt Du.

FRED

>
>
> Gruß Tony


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Bruchrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:16 Mo 16.04.2012
Autor: Tony1234

Hallo,

So sah es bei mir zunächst auch aus :)

Ich habe mal weiter gemacht...

[mm] \bruch{2n-2(n+1)}{2(n+1)2n} [/mm]

[mm] \(=\bruch{2n-2n-2}{2n(2n+2)} [/mm]

[mm] \(=\bruch{-2}{4n^2+4n} [/mm]

[mm] \(=\bruch{-1}{2n^2+2n} [/mm]

[mm] \(=\bruch{-1}{2n(n+1)} [/mm]


Richtiges Ergebnis, aber ich denke, ich bin eine Menge Umwege geganen... kann das sein?



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Bruchrechnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Mo 16.04.2012
Autor: Tony1234

Nun noch zur Monotonie:

Die Ursprungsfolge lautet: [mm] \(an:=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n} [/mm]

[mm] \(an+1-an [/mm]

--> hierdurch kam ich zu [mm] \bruch{-1}{2n(n+1)} [/mm]

& weil
[mm] \bruch{-1}{2n(n+1)}<0 [/mm]

[mm] [\(an+1 --> Streng monoton Fallend

meine Frage hierzu:

wäre das Ergebnis zB [mm] \bruch{1}{2n(n+1)} [/mm]
--> [mm] \an+1>0 [/mm] --> streng monoton steigend

Aber mit steigendem "n" wird der Bruch doch kleiner ... für n=1 [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
, für n=2 [mm] \bruch{1}{12}... [/mm] verstehe nicht, wieso die Folge monoton "steigend" sein soll, wenn der bruch mit steigendem "n" gegen 0 läuft...

Bezug
                                                
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Bruchrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:10 Mo 16.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Tony1234,


> Nun noch zur Monotonie:
>  
> Die Ursprungsfolge lautet:
> [mm]\(an:=\bruch{1}{3}+\bruch{1}{2n}[/mm]
>  
> [mm]\(an+1-an[/mm]
>  
> --> hierdurch kam ich zu [mm]\bruch{-1}{2n(n+1)}[/mm]
>  
> & weil
>  [mm]\bruch{-1}{2n(n+1)}<0[/mm]
>  
> [mm][\(an+1
>  --> Streng monoton Fallend  [ok]

Genau!

>
> meine Frage hierzu:
>  
> wäre das Ergebnis zB [mm]\bruch{1}{2n(n+1)}[/mm]
>  --> [mm]\an+1>0[/mm] --> streng monoton steigend

Ja!

>  
> Aber mit steigendem "n" wird der Bruch doch kleiner ...
> für n=1 [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
>  , für n=2 [mm]\bruch{1}{12}...[/mm] verstehe nicht, wieso die
> Folge monoton "steigend" sein soll, wenn der bruch mit
> steigendem "n" gegen 0 läuft...  

Egal, er ist für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] größer als 0, also hast du strenges Wachstum!

Gruß

schachuzipus


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Bruchrechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:14 Mo 16.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Tony,


> Hallo,
>
> So sah es bei mir zunächst auch aus :)
>  
> Ich habe mal weiter gemacht...
>
> [mm]\bruch{2n-2(n+1)}{2(n+1)2n}[/mm]
>  
> [mm]\(=\bruch{2n-2n-2}{2n(2n+2)}[/mm]
>  
> [mm]\(=\bruch{-2}{4n^2+4n}[/mm]
>  
> [mm]\(=\bruch{-1}{2n^2+2n}[/mm]
>  
> [mm]\(=\bruch{-1}{2n(n+1)}[/mm]
>  
>
> Richtiges Ergebnis, aber ich denke, ich bin eine Menge
> Umwege geganen... kann das sein?

Nö, ist alles i.O. (nur sehr kleinschrittig - was aber ja nicht fasch und nichts Schlechtes ist), du hättest vllt. direkt zu Anfang "nur" mit n bzw. n+1 erweitern sollen (dann mit Nenner $2n(n+1)$) statt mit 2n und 2(n+1), dann hättest du dir das spätere Rauskürzen der 2 sparen können.

Gruß

schachuzipus


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Bruchrechnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:11 Mo 16.04.2012
Autor: Tony1234

Ok, vielen Dank für die Hilfe!

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