Bogenmaß berechnen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fxl |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi zusammen,
prinzipiell stehe ich vor folgendem Problem.
Ich habe ein Segment (Startpunkt (SP), Endpunkt (EP) und einen Segmentmittelpunkt (SMP)) welches ein Bogenstück im R³ beschreibet. Von diesem Bogenstück will ich das Bogenmaß berechnen.
Folgendes habe ich ausprobiert:
Ich habe mir eine ONB konstruiert durch:
1. 2 Vektoren bilden die eine Ebene aufspannen: v1= [mm] \overrightarrow{SP SMP} [/mm] und v2 = [mm] \overrightarrow{EP SMP}
[/mm]
2. Kreuzprodukt bilden: v3 = v1 x v2
3. v1 - v3 normieren wobei v1 = Spalte X der Matrix, v2 = Spalte Y der Matrix und v3 = Spalte Z der Matrix
Diese ONB habe ich transponiert um das Segment auf X/Y-Ebene "hinlegen" zu können und um "einfacher" die Winkel Berechnungen durchzuführen.
Nur leider scheitert meine Idee an der Konstruktion der ONB.
Das Problem ist sofort erkennbar wenn mein Segment schon in der X/Y-Ebene liegt (nur zum Test) und die ONB konstruiert ist kommt in manchen Fällen die Einheitsmatrix und in manchen Fällen aber [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1} [/mm] heraus.
Soweit ich es erkenne, liegt mein Problem bei der Bildung der 2 Vektoren und der Bildung des Kreuzproduktes (je nachdem ob v1 x v2 oder v2 x v1).
Jetzt meine Frage :D,
ist die Idee/der Ansatz richtig um das Bogenmaß auszurechnen; muss ich ganz anders vorgehen bei der Konstruktion der ONB oder fehlen mir noch Daten wie z.B. ein Normalenvektor des Segments?
Als Voraussetzung kann angenommen werden, dass der Segmentmittelpunkt nicht kollinear zum Start/Endpunkt ist.
Gruß
PS: Hoffe ich habe mit meinem "Abitur"-Mathe nicht nur Unsinn getippt.
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Du verwendest Fachbegriffe (z.B. "Segment") nicht korrekt, so daß ich nicht genau verstehe, was für eine Figur vorliegt. Soll das nicht einfach ein Kreisbogen sein, der von einem Punkt [mm]A[/mm] über einen Punkt [mm]N[/mm] zu einem Punkt [mm]B[/mm] führt, wobei [mm]N[/mm] die Mitte des Bogens ist? Habe ich das richtig verstanden?
Und was suchst du genau? Sind die Punkte [mm]A,N,B[/mm] durch ihre Koordinaten gegeben und die Länge des Kreisbogens gesucht? Was willst du genau berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:22 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fxl |
Abend,
sorry wenn ich mich falsch ausgedrückt habe. Vielleicht sollte ich dazu sagen, dass ich in Delphi programmiere und eine "Basis"-Library, in der grundsätzliche Datenstrukturen wie z.B. ein 3DPunkt, 3x3Matrix. definiert sind, verwende.
In dieser Library hält ist auch das falsch verstandene "Segment" definiert. Es besteht aus einem Startpunkt, Endpunkt und ggf. eine Mittelpunkt. Der Mittelpunkt liegt genau auf dem Bogenstück.
Mehrere zusammenhängende "Segmente" bilden eine "Segmentliste". Diese Struktur + eine Dicke (+ Richtungsvektor) nutze ich nun um eine "Platte" grafisch auszugegeben.
Gegeben sind jeweils die Koordinaten SP, EP und Mittelpunkt der "Segmente".
Ausrechnen will ich das Bogenmaß EINES "Segment's" (wenn möglich so, dass nur ein "Segment" betrachte anstatt die komplette "Segmentliste")
Gruß
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"Mittelpunkt" deutet auf "Mitte" hin. Liegt nun der Punkt genau auf der Mitte des Bogens oder irgendwo auf dem Bogen? Leider drückst du dich nicht klar genug aus.
Und was meinst du mit "Bogenmaß"? Das ist eigentlich eine Einheit für ein Winkelmaß. Suchst du also den Mittelpunktswinkel des Bogens (er wird von den beiden Radien gebildet, die vom Mittelpunkt des Kreises zu den Endpunkten des Bogens laufen)? Oder willst du die Länge des Bogens berechnen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fxl |
Der Mittelpunkt liegt GENAU auf der Mitte des Bogens.
Berechnen muss ich den Kreismittelpunkwinkel zu den Radien von Start und Endpunkt des Bogens.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mo 01.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo fxl,
ich fasse mal zusammen:
Du hast einen Kreisbogen, der irgendwo im Raum liegt. Gegeben sind die beiden Endpunkte sowie der Punkt, der genau auf der Mitte dieses Bogens liegt (also nicht im Kreismittelpunkt).
Du musst nun erst einmal den Radius des Kreises bestimmen, aus dem der Bogen ausgeschnitten ist. Es ist zugleich der Umkreis des Dreiecks aus den gegebenen drei Punkten. Dieser ist leicht zu finden: verbinden jeden der Endpunkte des Bogens mit dem mittleren Punkt. Diese beiden Strecken liegen in einer gemeinsamen Ebene mit dem Bogen. Dann konstruiere die Mittelsenkrechten (natürlich in der gleichen Ebene) auf den beiden Strecken. Der gesuchte Kreismittelpunkt ist der Schnittpunkt dieser beiden Mittelsenkrechten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fxl |
Deine Zusammenfassung ist knapp und genau RICHTIG!
Kurze Frage:
> ...verbinden jeden der Endpunkte des
> Bogens mit dem mittleren Punkt. Diese beiden Strecken
> liegen in einer gemeinsamen Ebene mit dem Bogen.
Was verstehst du genau unter "verbinden" - ich würde mit meinem Wissen sagen, du meinst ich soll einen Vektor [mm] \overrightarrow{Startpunkt BogenMittelpunkt} [/mm] und einen Vektor [mm] \overrightarrow{EndpunktBogenMittelpunkt} [/mm] bilden?
> Dann konstruiere die Mittelsenkrechten (natürlich in der
> gleichen Ebene) auf den beiden Strecken.
Habe ich da nicht ein Problem? Die Mittelsenkrechten können doch in 2 Richtungen zeigen - in Bezug auf die gebildeten Strecken (-/oder + 90° gedreht) - Welche ist die Richtige?
Gruß
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Hallo nochmal,
> Deine Zusammenfassung ist knapp und genau RICHTIG!
Schön. Dann ist ja wenigstens die Aufgabe jetzt klar.
> Kurze Frage:
>
> > ...verbinden jeden der Endpunkte des
> > Bogens mit dem mittleren Punkt. Diese beiden Strecken
> > liegen in einer gemeinsamen Ebene mit dem Bogen.
>
> Was verstehst du genau unter "verbinden" - ich würde mit
> meinem Wissen sagen, du meinst ich soll einen Vektor
> [mm]\overrightarrow{Startpunkt BogenMittelpunkt}[/mm] und einen
> Vektor [mm]\overrightarrow{EndpunktBogenMittelpunkt}[/mm] bilden?
Ja, ok.
> > Dann konstruiere die Mittelsenkrechten (natürlich in der
> > gleichen Ebene) auf den beiden Strecken.
>
> Habe ich da nicht ein Problem? Die Mittelsenkrechten
> können doch in 2 Richtungen zeigen - in Bezug auf die
> gebildeten Strecken (-/oder + 90° gedreht) - Welche ist
> die Richtige?
Wenn Du die Mittelsenkrechten als Geraden beschreibst, ist die Orientierung der Richtungsvektoren dieser beiden Geraden egal. Es gibt nur einen Schnittpunkt (bzw. keinen, wenn die drei gegebenen Punkte auf einer Geraden liegen).
Ansonsten ist die Richtung natürlich die, die von den beiden konstruierten Strecken ausgehend in Richtung der dritten Seite (also Verbindung der Endpunkte des Bogens) geht. Aber das ist hier, wie gesagt, eigentlich unerheblich.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fxl |
> Ja, ok.
Klingt ja nicht so "positiv" :D
> Wenn Du die Mittelsenkrechten als Geraden beschreibst, ist die Orientierung der Richtungsvektoren dieser beiden Geraden egal. Es gibt nur einen > Schnittpunkt (bzw. keinen, wenn die drei gegebenen Punkte auf einer Geraden liegen).
> Ansonsten ist die Richtung natürlich die, die von den beiden konstruierten Strecken ausgehend in Richtung der dritten Seite (also Verbindung der > Endpunkte des Bogens) geht. Aber das ist hier, wie gesagt, eigentlich unerheblich.
Dies habe ich gerade sogar selbst bemerkt, ich musste es mir zwar aufzeichnen, aber ok...
Ich werde morgen an ein paar Beispiel Punkten den Rechenweg ausprobieren.
Aber so wie ich es raushöre bzw. es von euch gar nicht erwähnt wird, ist ein "hinlegen" auf X/Y-Ebene wohl gar nicht nötig, da eine Berechnung auch im R³ möglich ist.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 01.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > Ja, ok.
>
> Klingt ja nicht so "positiv" :D
Och, aber doch auch nicht negativ. 
> Aber so wie ich es raushöre bzw. es von euch gar nicht
> erwähnt wird, ist ein "hinlegen" auf X/Y-Ebene wohl gar
> nicht nötig, da eine Berechnung auch im R³ möglich ist.
Nein, wenn nicht mehr zu berechnen ist als das, wonach es so aussieht, ist eine Koordinatentransformation eher zu aufwändig.
Wenn Du den Mittelpunkt gefunden hast, kannst Du von dort zwei Vektoren zu den Endpunkten des Bogens bilden, und den Winkel zwischen ihnen festzustellen ist im [mm] \IR^3 [/mm] nicht mühsamer als in einer der Koordinatenebenen. Dazu braucht man die Darstellungen von Skalarprodukt und Kreuzprodukt, die mit trigonometrischen Funktionen (einmal [mm] \sin [/mm] und einmal [mm] $\cos$) [/mm] formuliert sind.
Dann kann man den Winkel eindeutig identifizieren.
Viel Erfolg!
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Mo 01.10.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich denke es ist einfacher als die anderen posts
der Winkel zwischen den 2 Schenkeiln, den du suchst ist doppelt si groß wie der zwischen den 2 Sehnen, AM und ME, du kannst also einfach den Winkel zwischen den beiden über ihr Skalarprodukt ausrechen also [mm] ˜cos(phi/2)=\bruch{\vec{AM}*\vec{MB}}{|AM|*|MB|}
[/mm]
siehe Zeichnung
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:54 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> ich denke es ist einfacher als die anderen posts
> der Winkel zwischen den 2 Schenkeiln, den du suchst ist
> doppelt si groß wie der zwischen den 2 Sehnen, AM und ME,
Du meinst MB.
> du kannst also einfach den Winkel zwischen den beiden über
> ihr Skalarprodukt ausrechen also
> [mm]˜cos(phi/2)=\bruch{\vec{AM}*\vec{MB}}{|AM|*|MB|}[/mm]
Ja stimmt. Ist halt auch ein bisschen schwer, wenn man erst nach
dem ganzen durchforsten des Threads dann hier
erst findet, was er nun genau berechnen will. (Ist keine bösgemeinte
Kritik an fxl, das hat sich halt so aus dem "Gespräch heraus" erst
entwickelt bzw. entwickeln können).
Man braucht' hier also eigentlich wirklich nur 2D zu denken...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 01.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi zusammen,
>
> prinzipiell stehe ich vor folgendem Problem.
>
> Ich habe ein Segment (Startpunkt (SP), Endpunkt (EP) und
> einen Segmentmittelpunkt (SMP))
Du hättest die Punkte besser S(tartpunkt), M(ittlerer Punkt) und
E(ndpunkt) genannt - ansonsten würdest Du vielleicht auch besser
[mm] $$v_1=\overrightarrow{SP,\;SMP}$$
[/mm]
schreiben - dann sieht man wenigstens, dass da nicht irgendwie "5",
sondern nur 2 Punkte im Spiel sind. Vermeide jedenfalls unnötigen
Buchstabenwirrwarr!!
> welches ein Bogenstück im
> R³ beschreibet. Von diesem Bogenstück will ich das
> Bogenmaß berechnen.
>
> Folgendes habe ich ausprobiert:
>
> Ich habe mir eine ONB konstruiert durch:
>
> 1. 2 Vektoren bilden die eine Ebene aufspannen: v1=
> [mm]\overrightarrow{SP SMP}[/mm] und v2 = [mm]\overrightarrow{EP SMP}[/mm]
>
>
> 2. Kreuzprodukt bilden: v3 = v1 x v2
v3 steht dann senkrecht auf der Ebene, die durch v1 und v2 aufgespannt
wird.
> 3. v1 - v3 normieren
Na, woher weißt Du denn, dass v1 senkrecht auf v2 steht? Außerdem
schreibst Du auch besser, dass Du v1 BIS v3 normierst, denn oben liest
man, dass du den Vektor (v1-v3) normieren wolltest... jedenfalls besteht
die Gefahr, dass man das so liest!
> wobei v1 = Spalte X der Matrix, v2 =
> Spalte Y der Matrix und v3 = Spalte Z der Matrix
>
>
> Diese ONB habe ich transponiert um das Segment auf
> X/Y-Ebene "hinlegen" zu können und um "einfacher" die
> Winkel Berechnungen durchzuführen.
Da setzt's bei mir gerade geometrisch aus!
>
> Nur leider scheitert meine Idee an der Konstruktion der
> ONB.
Hier scheitert's vielleicht einfach dran, dass Dir gar nicht klar ist, dass ONBs
i.a. nicht eindeutig sind. Selbst, wenn Du hier zwei Vektoren, wo wir
einfach mal annehmen, dass die schon senkrecht aufeinander stünden
(was wir eigentlich in der von Dir geschilderten Aufgabe nicht dürfen),
fixiert hältst, gibt's doch für den dritten immer noch zwei weitere
mögliche Richtungen, wenn er auf den beiden fixierten senkrecht stehen
soll. Mehr als zwei dann aber nicht! Wenn Du zwei Vektoren festhältst,
nehmen wir weiterhin an, die stünden schon senkrecht aufeinander,
dann kann man noch eine Orientierung an das ONB fordern - da gibt's
dann das Vorzeichen einer gewissen Determinante - und damit hätte man
dann in eindeutiger Weise eine ONB gewonnen. Aber wenn Du schon mit
zwei Vektoren beginnst, die noch nichtmal notwendig senkrecht
aufeinander stehen müssen... Aber egal: Wozu willst Du überhaupt eine
eindeutige ONB (des [mm] $\IR^3$)? [/mm]
> Das Problem ist sofort erkennbar wenn mein Segment schon in
> der X/Y-Ebene liegt (nur zum Test) und die ONB konstruiert
> ist kommt in manchen Fällen die Einheitsmatrix und in
> manchen Fällen aber [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1}[/mm]
> heraus.
Beides ist eine ONB!! (Oder anders gesagt: Sowohl die Spaltenvektoren
der Einheitsmatrix bilden eine ONB des [mm] $\IR^3$, [/mm] als auch die
Spaltenvektoren der von Dir hier aufgeführten Basis. Letzteres folgt
schon quasi direkt aus der Feststellung, dass die Spaltenvektoren in der
Einheitsmatrix eine ONB des [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden!)
> Soweit ich es erkenne, liegt mein Problem bei der Bildung
> der 2 Vektoren und der Bildung des Kreuzproduktes (je
> nachdem ob v1 x v2 oder v2 x v1).
>
> Jetzt meine Frage :D,
Darauf wurde ja schon eingegangen, denke ich.
Also nochmal:
Wenn Du eine ONB konstruieren willst, dann kannst Du sicher sowas
machen:
Berechne [mm] $v_1=\overrightarrow{S,M}$, $v_2=\overrightarrow{M,E}\,.$
[/mm]
Dann ist [mm] $v_1 \times v_2$ [/mm] senkrecht sowohl auf [mm] $v_1$ [/mm] als auch auf [mm] $v_2\,.$ [/mm]
Das hast Du ja alles soweit schon selbst gemacht und erkannt. Allerdings
wird doch i.a. [mm] $v_1^T\cdot v_2 \not=0$ [/mm] bzw. [mm] $v_1 \bullet v_2\not=0$ [/mm]
sein, wenn wir mit [mm] $\bullet$ [/mm] das euklidische Skalarprodukt (Summe über
die Produkte der Komponenten an gleicher Stelle) bezeichnen.
Was Du nun machen kannst, wäre, [mm] $v_2\,$ [/mm] zu ersetzen durch
[mm] $$\red{v_2\,'}:=v_1 \times \red{v_3}\,.$$
[/mm]
Dann normierst Du jeden der Vektoren [mm] $v_1,\,\red{v_2\,'},\,v_3$ [/mm] und
erhältst damit eine ONB des [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
Warum Du das aber alles machen willst, weiß ich nicht. Es ist doch
eigentlich folgendes klar:
Wenn Du [mm] $v_1 \times v_2=:v_3$ [/mm] berechnet hast, dann kennst Du doch,
sofern Du nur noch einen Punkt Deines Kreisbogens mitnimmst, die
Hyperebene, in Der Dein Kreis liegen soll - indem Du [mm] $v_3$ [/mm] auf die
Länge 1 bringst (also normierst oder den normierten auch mit [mm] $-1\,$
[/mm]
multiplizierst), kannst Du doch mithilfe der Hesseschen Normalform die
Ebenengleichung aufstellen, in der der Kreis liegen soll.
(Hier kann man sich auch fragen, was die Normierung eines Vektors, der
senkrecht auf der Ebene steht, eigentlich hier für einen Nutzen hat. Ich
meine:
Eine Ebene des [mm] $\IR^3$ [/mm] kannst Du ja auch allgemein in der Form
[mm] $$(\*)\;\;\;E=\{(x,y,z)^T:\;\;ax+by+cz=d\}$$
[/mm]
schreiben, das ist nichts anderes als
[mm] $$(\*\*)\;\;\;E=\left\{(x,y,z)^T: \left(\vektor{x\\y\\z} - \vektor{p_1\\p_2\\p_3}\right) \bullet \vektor{a\\b\\c}=0\right\}$$
[/mm]
mit einem Punkt [mm] $(p_1,p_2,p_3)$ [/mm] der Ebene, der also [mm] $ap_1+bp_2+cp_3= \vektor{p_1\\p_2\\p_3}\bullet \vektor{a\\b\\c}=d$ [/mm] erfüllt. Du kannst also
aus der Darstellung [mm] $(\*)$ [/mm] sofort einen Normalenvektor ablesen!)
Jetzt überleg' Dir halt, wie man eine Kreislinie in [mm] $E\,$ [/mm] dann beschreibt: Alle
Punkte der Kreislinie müssen auch die Ebenengleichung erfüllen. Und drei
voneinander verschiedene Punkte in einer Ebene legen in eindeutiger
Weise eine Kreislinie fest - schlimmstenfalls schaut man mal in die
Funktionentheorie, da wird sowas auch ab und an benutzt. Wobei man hier
auch eine entartete Kreislinie, also eine Gerade, als Kreislinie zuläßt.
Also entweder arbeitet man hier mit einer wie oben angedeuteten
Ebenengleichung und überlegt sich, wie dann Kreislinien in einer solchen
Ebene aussehen, oder man geht sogar tatsächlich erst her, und überlegt
sich, wie man mittels einer kleinen Transformation (Drehung und
Verschiebung) die mittels [mm] $v_1,\,$ $v_2$ [/mm] und eines Punktes der Ebene
gefundenen Ebene auf die [mm] $x,y\,$-Ebene [/mm] zu liegen bekommt; überlegt sich weiter, wo dann die Punkte dort zu finden sind, berechnet die Kreislinie im
[mm] $\IR^2$ [/mm] bzw. [mm] $\IC$ [/mm] (genauer gesagt: nur den Mittelpunkt und den Radius
der Kreislinie) und transformiert das Ergebnis wieder zurück.
P.S.
Das ganze hier dient auch eigentlich nur dazu, dass Du Deine eigene Idee
noch zu Ende gedacht bekommst. Durch sauberes Aufschreiben,
zusammenfassen etc. solltest Du dann auch irgendwann das Ergebnis
haben, dass man das so einfach machen kann, wie Reverend es
vorgeschlagen hat! Ob man auf diesem hier geschrittenen Wege schnell dahinkommt oder ob das doch eher über Umwege funktioniert,
mag' ich jetzt nicht beurteilen, zumal ich es so noch nicht selbst
nachgerechnet habe.
Mach' Dir aber unbedingt die beiden obenstehenden Ebenengleichungen klar, bzw., dass sie als
äquivalente Beschreibung für ein und die selbe
Ebene benutzt werden können. Mach' Dir also klar, wie man, wenn man
eine Ebene in der Form [mm] $(\*)$ [/mm] hat, sie in eine Form [mm] $(\*\*)$ [/mm] bekommt,
und wie man, wenn man eine Ebene in der Form [mm] $(\*\*)$ [/mm] vorliegen hat,
die auch dann in die Form [mm] $(\*)$ [/mm] bringen kann. In beiden Darstellungen
erkennt man direkt einen Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Du
hättest also mit Deiner Berechnung von [mm] $v_3$ [/mm] die Ebene in jede dieser
beiden Darstellungen bringen können!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 01.10.2012 | | Autor: | fxl |
WOW, erst einmal wirklich großen Dank für die Antworten. Ein super Forum und noch bessere Leute!!!
Grundsätzlich muss ich sagen, dass ich bei meiner Formulierung meiner Frage etwas schludrig war - dies wird hoffentlich besser.
Schade, dass ich ab morgen Urlaub habe, aber gleich nächste Woche werde ich mich an eure Aussagen machen und sie nachvollziehen.
Gruß und schönen Abend noch zusammen
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[Dateianhang nicht öffentlich]
In der Zeichnung sind [mm]r[/mm] der Kreisradius und [mm]a,c,u[/mm] der Reihe nach die Längen der Strecken [mm]AC,AB,CD[/mm].
Aus den Koordinaten der Punkte lassen sich [mm]a[/mm] und [mm]c[/mm] leicht berechnen. Mit Pythagoras bekommt man [mm]u[/mm] (Dreieck [mm]ACD[/mm]) und [mm]r[/mm] (Dreieck [mm]ADM[/mm]). (Alternativ: Wenn man [mm]CM[/mm] zu einem Durchmesser verlängert und das Ende mit [mm]A[/mm] verbindet, erhält man nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck. In ihm kann man mit Hilfe des Kathetensatzes [mm]r[/mm] berechnen.)
[mm]\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AB}[/mm]
[mm]\overrightarrow{CM} = \frac{r}{u} \cdot \overrightarrow{CD}[/mm]
Jetzt muß man nur noch [mm]\overrightarrow{CM}[/mm] an den Ortsvektor von [mm]C[/mm] anheften. Man gelangt bei [mm]M[/mm] an.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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