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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Bilinearform, Matrix
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Bilinearform, Matrix: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Mo 30.04.2012
Autor: triad

Aufgabe
Sei [mm] \phi [/mm] eine Bilinearform auf [mm] \IR^n [/mm] mit [mm] \phi(x,y)=-\phi(y,x) [/mm] für alle [mm] $x,y\in\IR^n.$ $\phi$ [/mm] heißt dann schiefsymmetrisch.

  a) Zeigen Sie, dass für die Matrix A = [mm] (a_{ij})_{i,j=1,...,n} [/mm] mit [mm] \phi(x,y)=x^TAy [/mm] gilt

[mm] a_{ij}=\begin{cases} 0 & \mbox{falls } i=j \mbox{ } \\ -a_{ji} & \mbox{falls } i\not=j \mbox{ } \end{cases} [/mm] .

Mir fehlt hier ein wenig der Ansatz, was man zeigen soll. Soll man die Gleichheit der beiden Matrizen [mm] A=(a_{ij}) [/mm] und derjenigen hinter der Fallunterscheidung zeigen?



        
Bezug
Bilinearform, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:28 Mo 30.04.2012
Autor: Schadowmaster

moin,


>  Mir fehlt hier ein wenig der Ansatz, was man zeigen soll.
> Soll man die Gleichheit der beiden Matrizen [mm]A=(a_{ij})[/mm] und
> derjenigen hinter der Fallunterscheidung zeigen?

Ja, das sollst du zeigen.
Also ist $A$ eine Matrix der Form, dass $x^TAy = [mm] \phi(x,y)$ [/mm] für alle $x,y$ gilt, so muss $A$ genau die in der Fallunterscheidung angegebene Form haben.

lg

Schadow


Bezug
                
Bezug
Bilinearform, Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:35 Di 01.05.2012
Autor: yangwar1

Ich bräuchte noch eine etwas genauere Erklärung, da ich einfach nicht auf die Lösung komme.
Ausgerechnet habe ich zum Beispiel x^TAy, und dann noch -y^TAx, weil [mm] \phi [/mm] schiefsymmetrisch ist.
Dann habe ich beide Matrizen [mm] verglichen:x^TAy=\Phi(x,y)= [/mm]
[mm] ((x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)...(x_1a_{1n}y_n+...+x_na_{mn}y_n)) [/mm]

und [mm] -y^TAx=-\Phi(y,x)=\Phi(x,y)=((-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)...(-y_1a_{1n}x_n-...-y_na_{mn}x_n)) [/mm]

Jeder Eintrag muss also gleich sein. Aber wie man nun auf die angegebene Fallunterscheidung kommt, weiß ich nicht. Was auffällt ist, dass die Koeffizienten von [mm] a_{ij} [/mm] gleich sind, wenn i=j. Also erster Summand des ersten Eintrages der ersten Matrix ist gleich erster Summand des ersten Eintrages der zweiten Matrix, nur eben mit einem [mm] Minus:-y_1a_{11}x_1=x_1a_{11}y_1 [/mm]

Der Gedanke gleichzusetzen kam mir auch noch, brachte mich aber nicht weiter:
[mm] (-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)=(x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1) [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Bilinearform, Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:49 Di 01.05.2012
Autor: yangwar1

Könnte mir das bitte noch jemand erklären?

Bezug
                        
Bezug
Bilinearform, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:45 Mi 02.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Ich bräuchte noch eine etwas genauere Erklärung, da ich
> einfach nicht auf die Lösung komme.

Hallo,

im Grunde bist Du schon dicht dran.
Ich schlage aber erstmal einen vordergründig anderen Weg ein:

ich bin mir ziemlich sicher, daß bereits besprochen wurde, wie man zu einer gegebenen bilinearen Abbildung die Darstellungsmatrix A bzgl einer Basis [mm] B:=(b_1,...,b_n) [/mm] aufstellt:

Es ist nämlich [mm] A:=(a_i_k) [/mm] mit [mm] a_i_k=\sigma(b_i,b_k) [/mm]

Hieraus und mit der Def. von "schiefsymmetrisch" hast Du's schnell.


>  Ausgerechnet habe ich zum Beispiel x^TAy, und dann noch
> -y^TAx, weil [mm]\phi[/mm] schiefsymmetrisch ist.
> Dann habe ich beide Matrizen [mm]verglichen:x^TAy=\Phi(x,y)=[/mm]
>  
> [mm]((x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)...(x_1a_{1n}y_n+...+x_na_{mn}y_n))[/mm]
>
> und
> [mm]-y^TAx=-\Phi(y,x)=\Phi(x,y)=((-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)...(-y_1a_{1n}x_n-...-y_na_{mn}x_n))[/mm]
>
> Jeder Eintrag muss also gleich sein. Aber wie man nun auf
> die angegebene Fallunterscheidung kommt, weiß ich nicht.
> Was auffällt ist, dass die Koeffizienten von [mm]a_{ij}[/mm] gleich
> sind, wenn i=j. Also erster Summand des ersten Eintrages
> der ersten Matrix ist gleich erster Summand des ersten
> Eintrages der zweiten Matrix, nur eben mit einem
> [mm]Minus:-y_1a_{11}x_1=x_1a_{11}y_1[/mm]
>  
> Der Gedanke gleichzusetzen kam mir auch noch, brachte mich >  Ausgerechnet habe ich zum Beispiel x^TAy, und dann noch

> -y^TAx, weil [mm]\phi[/mm] schiefsymmetrisch ist.
> Dann habe ich beide Matrizen [mm]verglichen:x^TAy=\Phi(x,y)=[/mm]
>  
> [mm]((x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)...(x_1a_{1n}y_n+...+x_na_{mn}y_n))[/mm]
>
> und
> [mm]-y^TAx=-\Phi(y,x)=\Phi(x,y)=((-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)...(-y_1a_{1n}x_n-...-y_na_{mn}x_n))[/mm]

Es ist ja [mm] \phi(x,y)=-\phi(y,x). [/mm]

Das gilt dann ja  auch für die n Standardbasisvektoren [mm] e_1,...,e_n. [/mm]
Betrachte also [mm] \phi(e_i,e_k)=-\phi(e_k,e_i) [/mm] und ziehe Deine Schlüsse.

LG Angela





>
> Jeder Eintrag muss also gleich sein. Aber wie man nun auf
> die angegebene Fallunterscheidung kommt, weiß ich nicht.
> Was auffällt ist, dass die Koeffizienten von [mm]a_{ij}[/mm] gleich
> sind, wenn i=j. Also erster Summand des ersten Eintrages
> der ersten Matrix ist gleich erster Summand des ersten
> Eintrages der zweiten Matrix, nur eben mit einem
> [mm]Minus:-y_1a_{11}x_1=x_1a_{11}y_1[/mm]
>  
> aber nicht weiter:
>  
> [mm](-y_1a_{11}x_1-y_2a_{21}x_1-...-y_na_{m1}x_1)=(x_1a_{11}y_1+x_2a_{21}y_1...+x_na_{m1}y_1)[/mm]
>  


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Bilinearform, Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Di 01.05.2012
Autor: triad

Kann mir auch nochmal jemand erklären warum

[mm] \phi(x,y)=-\phi(y,x) \quad \gdw \quad \phi(x,x)=0 [/mm]

gilt?

Bezug
                
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Bilinearform, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:14 Di 01.05.2012
Autor: Schadowmaster


> Kann mir auch nochmal jemand erklären warum
>  
> [mm]\phi(x,y)=-\phi(y,x) \quad \gdw \quad \phi(x,x)=0[/mm]

Sicher, dass du nicht nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm] haben möchtest?
Dafür setze einfach $x=y$.

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Bilinearform, Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:21 Mi 02.05.2012
Autor: fred97


> Kann mir auch nochmal jemand erklären warum
>  
> [mm]\phi(x,y)=-\phi(y,x) \quad \gdw \quad \phi(x,x)=0[/mm]
>  
> gilt?

Die Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] bekommst Du, wenn Du, wie Angela gesagt hat, y=x wählst.

Zu [mm] "\Leftarrow": [/mm] sei also [mm] \phi(x,x)=0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR^n. [/mm]

Für x,y [mm] \in \IR^n [/mm] haben wir dann:

0= [mm] \phi(x+y,x+y)= \phi(x,x)+ \phi(x,y)+ \phi(y,x)+ \phi(y,y)= \phi(x,y)+ \phi(y,x), [/mm]  somit ist

[mm] \phi(x,y)=- \phi(y,x) [/mm]


FRED



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