Bestimmen von Nullstellen x^3 < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:23 Do 05.04.2012 | | Autor: | Kempa |
| Aufgabe | | [mm] x^3-9x [/mm] |
Hallo erstmal!
Weiß leider nicht mehr wie ich bei einer Funktion dritten Grades die Nullstellen bestimmen.
Die Funktion um die es sich handelt ist folgende: [mm] x^3 [/mm] -9x
Vielen Dank!
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> [mm]x^3-9x[/mm]
> Hallo erstmal!
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> Weiß leider nicht mehr wie ich bei einer Funktion dritten
> Grades die Nullstellen bestimmen.
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> Die Funktion um die es sich handelt ist folgende: [mm]x^3[/mm] -9x
>
> Vielen Dank!
hallo,
klammere doch einmal ein x aus
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Do 05.04.2012 | | Autor: | Kempa |
Soweit so gut.
Jetzt wäre die Funktion x [mm] (x^2 [/mm] -9)
X1 wäre ja dann 0
Wie komme ich jetzt auf die anderen Nullstellen? Mit der PQ Formel? Geht ja nicht oder?
Danke!
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> Soweit so gut.
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> Jetzt wäre die Funktion x [mm](x^2[/mm] -9)
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> X1 wäre ja dann 0
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> Wie komme ich jetzt auf die anderen Nullstellen? Mit der PQ
> Formel? Geht ja nicht oder?
geht schon, ist aber unnötig.
du hast doch jetzt [mm] x^2-9=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2=9
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x=...
>
> Danke!
gruß tee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:57 Fr 06.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Soweit so gut.
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> Jetzt wäre die Funktion x [mm](x^2[/mm] -9)
>
> X1 wäre ja dann 0
>
> Wie komme ich jetzt auf die anderen Nullstellen? Mit der PQ
> Formel? Geht ja nicht oder?
wie schon angedeutet: Natürlich ginge das, schließlich ist
[mm] $$x^2+px+q=0$$
[/mm]
dann gleichbedeutend mit
[mm] $$x^2+0*x+(-9)=0\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $p=0\,$ [/mm] und [mm] $q=-9\,$ [/mm] dann zu verwenden.
Generell würde ich bei diesen Aufgaben aber, weil halt Standardwissen: "Ein (endliches) Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist", immer an "faktorisieren" denken:
Und [mm] $x^2-a=0$ [/mm] läßt sich für $a [mm] \ge [/mm] 0$ halt mittels 3er binomischer Formel schreiben als
[mm] $$x^2-a=(x+\sqrt{a})*(x-\sqrt{a})=0\,.$$
[/mm]
Also
[mm] $$x^2-9=0 \gdw x^2-9=(x+3)*(x-3)=0\,.$$
[/mm]
Das erklärt auch, wieso [mm] $x^2-a=0 \gdw |x|=\sqrt{a} \gdw x=\pm \sqrt{a}\,.$
[/mm]
P.S.
Bei der Herleitung der pq-Formel macht man prinzipiell auch nichts anderes: Man beginnt mit quadratischer Ergänzung:
[mm] $$x^2+px+q=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw x^2+2*(p/2)*x+\underbrace{(p/2)^2-(p/2)^2}_{=0}+q=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw (\;\;\;\underbrace{x+(p/2)}_{=:\tilde{x}}\;\;\;)^2-(\;\;\;\underbrace{(p/2)^2-q}_{=:a}\;\;\;)=0$$
[/mm]
[mm] $$\gdw \tilde{x}^2-a=0\,.$$
[/mm]
Jetzt 3e binomische Formel anwenden... (und beachte: [mm] $\sqrt{a}$ [/mm] existiert in [mm] $\IR$ [/mm] nur, wenn $a [mm] \ge [/mm] 0$).
Gruß,
Marcel
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