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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Basiswechselmatrix?
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Basiswechselmatrix?: Aufgabe
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 01:23 So 06.05.2012
Autor: HugATree

Aufgabe
Sei $K$ ein Körper
Sei [mm] char(K)=0[/mm] und [mm] $n=\mathbb{N}$. [/mm] Wir wissen aus Teil [mm](a)[/mm], dass [mm] $$\matcal{B}':=(1,(x-1),(x-1)^2,...,(x-1)^n)$$ [/mm]
eine geordnete Basis von [mm] $\mathbb{P}_n$ [/mm] ist. [mm] \mathcal{B}:=(1,x,x^2,...,x^m)$. [/mm] Geben Sie [mm]a_{ij} \in K[/mm] an, so dass für die Matrix [mm]A[/mm] mit Einträgen [mm] $a_{ij}$ [/mm] für alle [mm] $\alpa \in \mathbb{P}_n$ [/mm] gilt [mm] $[\alpha]_{\mathcal{B}'}=A[\alpha]_\mathcal{B}$. [/mm]

Guten Abend zusammen,

ich weiß hier irgendwie nicht, wie ich anfangen soll,bzw. was überhaupt gefragt ist.
Soll ich eine Basiswechselmatrix von B nach B' finden?

Vielen Dank im Voraus

lG
HugATree





Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Basiswechselmatrix?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 02:46 So 06.05.2012
Autor: DerBaum

Ich habe mir jetzt nochmal ein paar Gedanken darüber gemacht und bin auf folgendes gekommen:

Seien $b'_0=1, [mm] b'_1=(x-1),b'_2=(x-1)^2,...,b_n=(x-1)^n$ [/mm]
und [mm] $b_0=1,b_1=x,b_2=x^2,...,b_m=x^m$ [/mm]

Also ergibt sich:

[mm] $b'_0=1=b_0,$ [/mm]
[mm] $b'_1=(x-1)=-b_1+b_2,$ [/mm]
[mm] $b'_3=(x-1)^2=x^2-2x+1=b_0-2b_1+b_2,$ [/mm]
[mm] $b'3=(x-1)^3=x^3-3x^2+3x-1=-b_0+b_1-b_2+b_3,$ [/mm]
[mm] $\hdots$ [/mm]

Nun könnte man das ja theoretisch mit Binomialkoeffizienten ausdrücken, wenn da der blöde Vorzeichenwechsel nicht wäre.
Dieser außer Acht gelassen, würde folgendes ergeben:

[mm] $b'_n=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}b_i$ [/mm]

Wenn man sich die Binomialkoeffizienten betrachtet, fällt aus, dass immer wenn gilt: i UND n sind gerade oder ungerade: Vorzeichen ist +
und i und n sind verschieden (also n gerade und i ungerade oder andersrum), gilt Vorzeichen ist -.

Aber bin ich hier überhaupt auf dem richtigen Weg, und wenn ja, wie soll ich das dann hier machen?!

Vielen Dank,

lG
DerBaum

Bezug
                
Bezug
Basiswechselmatrix?: Idee
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:58 So 06.05.2012
Autor: DerBaum

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Also, ich bin gerade auf eine Lösung mit den Vorzeichen gekommen:

Die Linearkombination der Vektoren von $\mathcal{B}'$ lässt sich darstellen  durch:

$b'_n=\sum_{i=0}^n{(-1)^{n-i}\binom{n}{i}b_i$

Passt das?

Bezug
                
Bezug
Basiswechselmatrix?: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:13 So 06.05.2012
Autor: HugATree

Okay, dann würde meine Matrix A ja so aussehen:

[mm] $$A:=\pmat{\binom{0}{0}&-\binom{1}{0}&\binom{2}{0}&\hdots & (-1)^{n}\binom{n}{0}\\ 0&\binom{1}{1}&-\binom{2}{1}&\hdots &(-1)^{n-1}\binom{n}{1}\\ 0 & 0 & \binom{2}{2} & \hdots &(-1)^{n-2}\binom{n}{2}\\ 0&0&0&\hdots&(-1)^{n-3}\binom{n}{3}\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \hdots & (-1)^{n-m}\binom{n}{m}}$$ [/mm]

Und somit: [mm] $$a_{ij}=\begin{cases}(-1)^{j-i}\binom{j}{i} &\mbox{ für } i\leq j\\ 0 &\mbox{ für } {j\leq i} \end{cases}$$ [/mm]

Stimmt das?

lG
HugATree

Bezug
                        
Bezug
Basiswechselmatrix?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:20 Di 08.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                
Bezug
Basiswechselmatrix?: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:20 Di 08.05.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
Basiswechselmatrix?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:09 Di 08.05.2012
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]K[/mm] ein Körper
>  Sei [mm]char(K)=0[/mm] und [mm]n=\mathbb{N}[/mm]. Wir wissen aus Teil [mm](a)[/mm],
> dass [mm]\matcal{B}':=(1,(x-1),(x-1)^2,...,(x-1)^n)[/mm]
>  eine geordnete Basis von [mm]\mathbb{P}_n[/mm][/mm] ist.
> [mm]\mathcal{B}:=(1,x,x^2,...,x^m)$.[/mm] Geben Sie [mm]a_{ij} \in K[/mm] an,
> so dass für die Matrix [mm]A[/mm] mit Einträgen [mm]a_{ij}[/mm] für alle
> [mm]\alpa \in \mathbb{P}_n[/mm] gilt
> [mm][\alpha]_{\mathcal{B}'}=A[\alpha]_\mathcal{B}[/mm].
>  Guten Abend zusammen,
>  
> ich weiß hier irgendwie nicht, wie ich anfangen soll,bzw.
> was überhaupt gefragt ist.
>  Soll ich eine Basiswechselmatrix von B nach B' finden?

Hallo,

[willkommenmr].

Nein. Sonst stünde dort nämlich, daß Du die Matrix A mit  [mm][\alpha]_{\mathcal{B}'}=A[\alpha]_\mathcal{B}[/mm][mm] A^{-1} [/mm] finden sollst.

Mein Verdacht: Du sollst tatsächlich die Basiswechselmatrix finden, und in Deiner Aufgabenstellung ist ein Tippfehler passiert.
Ich würde mal bei den Chefs nachfragen.

LG Angela

>  
> Vielen Dank im Voraus
>  
> lG
>  HugATree
>  
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


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