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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Basis, Koordinaten bestimmen
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Basis, Koordinaten bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 Mi 09.03.2011
Autor: dreamweaver

Aufgabe
Betrachten Sie $B = [mm] \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}$ [/mm] mit
[mm] \vec{b}_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1}, [/mm]
[mm] \vec{b}_2 [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 1} [/mm]

a) Ist $B$ eine Basis des [mm] \IR^{2}? [/mm]
b) Bestimmen Sie die Koordinaten von [mm] \vec{v} [/mm] = (8, [mm] -1)^{T} [/mm] bezüglich $B$

Zu Punkt a)

Um zu bestimmen ob $B$ eine Basis des [mm] \IR^{2} [/mm] ist muss ich die Vektoren auf linare Unabhängigkeit prüfen oder?

Das sind sie und deshalb ist $B$ eine Basis des [mm] \IR^{2}. [/mm]

Bei Punkt b komm ich nicht so recht weiter.

[mm] \vec{v} [/mm] = (8, [mm] -1)^{T} [/mm] bedeutet doch nichts anderes als  [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{8 \\ -1}. [/mm] Das sind doch auch die gesuchten Koordinaten oder?. Was ist mit "bezüglich $B$" gemeint?

Lg

        
Bezug
Basis, Koordinaten bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Mi 09.03.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Betrachten Sie [mm]B = \{\vec{b}_1, \vec{b}_2\}[/mm] mit
>  [mm]\vec{b}_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1},[/mm]
>  [mm]\vec{b}_2[/mm] = [mm]\vektor{-2 \\ 1}[/mm]
>  
> a) Ist [mm]B[/mm] eine Basis des [mm]\IR^{2}?[/mm]
>  b) Bestimmen Sie die Koordinaten von [mm]\vec{v}[/mm] = (8, [mm]-1)^{T}[/mm]
> bezüglich [mm]B[/mm]
>  Zu Punkt a)
>  
> Um zu bestimmen ob [mm]B[/mm] eine Basis des [mm]\IR^{2}[/mm] ist muss ich
> die Vektoren auf linare Unabhängigkeit prüfen oder?


Richtig.


>  
> Das sind sie und deshalb ist [mm]B[/mm] eine Basis des [mm]\IR^{2}.[/mm]
>  
> Bei Punkt b komm ich nicht so recht weiter.
>  
> [mm]\vec{v}[/mm] = (8, [mm]-1)^{T}[/mm] bedeutet doch nichts anderes als  
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{8 \\ -1}.[/mm] Das sind doch auch die
> gesuchten Koordinaten oder?. Was ist mit "bezüglich [mm]B[/mm]"


Bezüglich der Standardbasis in [mm]\IR^{2}[/mm] hast Du recht.


> gemeint?


Hier sind die Koordinaten bezüglich der Basis B anzugeben.

Löse daher das Gleichungssystem

[mm]\pmat{8 \\ -1}=\alpha*\pmat{1 \\ 1}+\beta*\pmat{-2 \\ 1}[/mm]

Dann sind [mm]\left(\alpha, \ \beta\right)[/mm] die Koordinaten bezüglich der Basis B.


>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Basis, Koordinaten bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:39 Mi 09.03.2011
Autor: dreamweaver

Das bedeutet [mm] [\vec{v}]_B [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -3} [/mm] ?

Danke vielmals!

Lg

Bezug
                        
Bezug
Basis, Koordinaten bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:42 Mi 09.03.2011
Autor: MathePower

Hallo dreamweaver,

> Das bedeutet [mm][\vec{v}]_B[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -3}[/mm] ?


[ok]


>  
> Danke vielmals!
>  
> Lg


Gruss
MathePower

Bezug
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