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Basis 3er Vektoren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:38 Mo 05.03.2012
Autor: racy90

Hallo

ich hab 2 Vektoren gegeben : [mm] a=\vektor{1 \\ 2\\3} [/mm] und [mm] b=\vektor{17 \\ 17\\17} [/mm]

Nun soll ich einen 3.Vektor angeben sodass a,b und c eine Basis bilden.

Eine Basis bilden sie doch wenn sie lin.unab. sind oder?

Reicht es zb den Vektor [mm] c=\vektor{23\\ 23\\23} [/mm] anzugeben oder muss ich etwas berechnen?

        
Bezug
Basis 3er Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:45 Mo 05.03.2012
Autor: barsch

Hallo,


> Hallo
>  
> ich hab 2 Vektoren gegeben : [mm]a=\vektor{1 \\ 2\\ 3}[/mm] und
> [mm]b=\vektor{17 \\ 17\\ 17}[/mm]
>  
> Nun soll ich einen 3.Vektor angeben sodass a,b und c eine
> Basis bilden.
>  
> Eine Basis bilden sie doch wenn sie lin.unab. sind oder?

ja.

>  
> Reicht es zb den Vektor [mm]c=\vektor{23\\ 23\\ 23}[/mm] anzugeben

Ist der denn unabhängig von a und b?

> oder muss ich etwas berechnen?

Gruß
barsch


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Basis 3er Vektoren: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:48 Mo 05.03.2012
Autor: racy90

Denke schon das er lin.unab ist aber wahrscheinlich muss ich es noch rechnerisch beweisen.


Wie mache ich das in der Determinatenform?

Das hab ich leider nicht wirklich verstanden :/

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Basis 3er Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:04 Mo 05.03.2012
Autor: barsch

Hallo,

> Denke schon das er lin.unab ist aber wahrscheinlich muss
> ich es noch rechnerisch beweisen.

denkst du oder weißt du es? ;) Wählst du c so, sind die Vektoren nicht lin. unabhängig. Was bedeutet denn linear unabhängig?

Da  [mm]0*\vektor{1 \\ 2\\ 3}+\bruch{23}{17}*\vektor{17 \\ 17\\ 17}=\vektor{23 \\ 23\\ 23}[/mm] ist c eine Linearkombination von a und b und somit nicht linear unabhängig zu a und b.


>  
>
> Wie mache ich das in der Determinatenform?
>  
> Das hab ich leider nicht wirklich verstanden :/


Siehe []hier bsw. das Beispiel auf Seite 3.

Gruß
barsch


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Basis 3er Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Mo 05.03.2012
Autor: racy90

naja lin unab. heißt ja [mm] a\lambda+b\mu+c\nu=0 [/mm]

Soll ich  nun herumprobieren mit verschiedenen Determinaten und schauen welche [mm] \not=0 [/mm] dann sind die Vektoren ja lin. unabh oder?


also etwa [mm] so:\vmat{ 1 & 17 & 23\\ 2 & 17 & 23 \\3&17&23} [/mm]

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Basis 3er Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:37 Mo 05.03.2012
Autor: barsch


> naja lin unab. heißt ja [mm]a\lambda+b\mu+c\nu=0[/mm]

nein! Hier fehlt etwas ganz Entscheidendes!

> Soll ich  nun herumprobieren mit verschiedenen Determinaten
> und schauen welche [mm]\not=0[/mm] dann sind die Vektoren ja lin.
> unabh oder?


> also etwa [mm]so:\vmat{ 1 & 17 & 23\\ 2 & 17 & 23 \\ 3&17&23}[/mm]  

Mit Hilfe der Determinante kannst du prüfen, ob Vektoren linear unabhängig sind, ja.


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Basis 3er Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Mo 05.03.2012
Autor: racy90

Vektorpfeile?? Sonst fällt mir nichts ein.


Gibt es eine schnellere Methode als sich Determinanten auszurechnen,weil per Hand is das oft sehr mühsam

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Basis 3er Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:52 Mo 05.03.2012
Autor: barsch


> Vektorpfeile?? Sonst fällt mir nichts ein.

Nein, die sind es nicht.
Seien [mm]\lambda_i\in\IR, \ i=1,2,3[/mm].  [mm]a,b,c\in\IR^3[/mm] heißen linear unabhängig, wenn gilt: [mm]\lambda_1*a+\lambda_2*b+\lambda_3*c=0[/mm][mm][/mm] [mm]\gdw{\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0}[/mm].

> Gibt es eine schnellere Methode als sich Determinanten
> auszurechnen,weil per Hand is das oft sehr mühsam

Was habt ihr denn in der VL für Verfahren verwendet? Hast du dir eigentlich mal das Beispiel angesehen, dass ich vorhin verlinkt hatte?


Bezug
                                                                
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Basis 3er Vektoren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:57 Mo 05.03.2012
Autor: racy90

aso oh ,ja das hatte ich wohl vergessen zum schreiben

ja hab ich aber leider steht bei dem BSp wenig Erklärung dabei.Zb warum man Zeilen und Spalten tauscht? Drum kann ich mir das nicht umlegen auf mein Bsp

Bezug
                                                                        
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Basis 3er Vektoren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:47 Di 06.03.2012
Autor: barsch

Guten Morgen,

> aso oh ,ja das hatte ich wohl vergessen zum schreiben
>  
> ja hab ich aber leider steht bei dem BSp wenig Erklärung
> dabei.Zb warum man Zeilen und Spalten tauscht? Drum kann
> ich mir das nicht umlegen auf mein Bsp

ein wenig Transferleistung musst du schon erbringen ;)

Generell muss man bei so einer Aufgabe in 2 Schritten vorgehen:

1. Schritt: Nehme die Vektoren [mm]\{e_1,e_2,e_3\}[/mm] mit [mm]e_1=\vektor{1 \\ 0\\ 0}, e_2=\vektor{0\\ 1\\ 0}, e_3=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] hinzu. Dann bildet das System [mm]\{a,b,e_1,e_2,e_3\}[/mm] ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^3[/mm]. Allerdings keine Basis, denn die Basis ist ja das kleinste Erzeugendensystem.

Dann musst du aus [mm]\{e_1,e_2,e_3\}[/mm] einen Vektor [mm]e_i[/mm] finden, sodass [mm]\{a,b,e_i\}[/mm] ein System aus linear unabhängigen Vektoren ist.

Das kannst du z.B. über Gauß machen, indem du zeigst, dass das LGS

[mm]\lambda_1*a+\lambda_2*b+\lambda_3*e_i=0[/mm] nur die Lösung [mm]\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0[/mm] hat. Dann weißt du, dass die 3 Vektoren linear unabhängig sind.

2. Schritt: Zeige, dass sich jeder Vektor [mm]v\in\IR^3[/mm] als Linearkombination aus [mm]\{a,b,e_i\}[/mm] darstellen lässt.
Dass [mm] $\{a,b,e_i\}$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bildet, kann man auch mit Sätzen aus der VL begründen, sofern diese schon thematisiert wurden. Ein Blick ins Skript sollte weiterhelfen.

Das ist so die allg. (mir bekannte) Vorgehensweise.

Gruß
barsch


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