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Basen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 So 30.11.2003
Autor: Jessica

Hallo,

also ich habe hier zwei Aufgaben und komme absolut nicht weiter.
Sie  lauten:

(a) Es sei V:=F 2 2. Gegben sie die Basen von V an.

(b) Es sei V:= F2 3Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

. Wie viele Basen von V gibt es, die {e 1,e 2Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

} als Teilmengeenthalten, wobei e 1:= (1,0,0) und e 2:=(0,1,0) ist? wie viele Basen von V gibt es, die e 1enthalten?


Dazu:
Also ich verstehe  F 2 = Z 2 ={0,1} und V als das Kreuzprodukt der beiden Mengen an. Folglich ist V={(0,0),(0,1)(1,0),(1,1)}.
Und F2 3={(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}

Mein Problem ist jetzt wie ich die Basen finde bzw. konstruieren kann. Könntet ihr mir vielleicht dabei helfen?

Danke Jessica.

        
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Basen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 So 30.11.2003
Autor: Marc

Hallo Jessica,

erst mal: Willkommen im MatheRaum :-)!

Zum Finden einer Basis in einem Vektorraum ist letzten Sonntag in diesem Forum auch eine Frage gestellt worden (Betreff: Teilräume), vielleicht schaust du da noch mal nach, was ich jetzt nur kurz skizziere.

Dass die Vektorräume über einem endlichen Körper gebildet werden, macht die Sache ein wenig einfacher, da wir so alle Vektoren des Vektorraumes -- wie du es ja auch gemacht hast -- aufzählen können.

Wie bei Vektorräumen über [mm]\IR[/mm] auch, würde ich mir die Liste der Vektoren (die vom Nullvektor verschieden sind ;-)) nach und nach ansehen und für jeden Vektor entscheiden, ob ich ihn in meiner Basis(menge) aufnehme oder nicht. Die Frage, die ich mir dabei jedes Mal stelle, ist: Ist der Vektor linear abhängig oder unabhängig zu den bisherigen Basisvektoren? Falls er linear abhängig ist, "überspringe" ich ihn einfach, ansonsten erweitere ich die Basis um diesen Vektor.

Das Überprüfen der linearen Abhängigkeit ist natürlich etwas gewöhnungsbedürftig, da es sich nicht um [mm]\IR[/mm] handelt, sondern um [mm]\IZ_p[/mm], aber die Ansätze und Rechnungen sind dieselben. Falls du da noch mit Probleme hast, melde dich bitte wieder.

Wenn du nun einmal eine Basis auf diese Weise konstruiert hast, wird die allgemeinere Frage in (b) auch kein Problem mehr darstellen, hoffe ich. Falls doch, melde dich unbedingt wieder.

Viel Erfolg,
Marc.


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Basen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 So 30.11.2003
Autor: Jessica

Hallo Marc. Erst mal vielen Dank.

Also ich habe mir das mal angeschaut und auch versucht zu probieren. Will nur noch mal nachfragen ob ich es richtig verstanden habe.

Also in meinem Fall fange ich mit dem Vektor (0,1) an und schaue ob er mit dem Vektor (1,0) linear unabhängig ist. Er ist es somit sind die beiden Vektoren in meiner Basismenge. Als nächstes schaue ich ob der Vektor (1,1) zu den vorigen Vektoren linear unabhängig ist. Muss ich schauen ob die drei zusammen dann linear unabhängig oder schauen ob (1,0) und (1,1) sowie (0,1) und (1,1) linear unabhängig sind?

Wenn das letztere, dann wäre doch meine Basismenge die folgende

B= {(0,1),(1,0)}

und ich hätte dann somit nur zwei Basen nämlich

B 1= <(0,1),(1,0)> und B1 = <(1,0),(0,1)>

Wäre das denn dann so richtig?


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Basen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 So 30.11.2003
Autor: Marc

Hallo Jessica,

> Also in meinem Fall fange ich mit dem Vektor (0,1) an und
> schaue ob er mit dem Vektor (1,0) linear unabhängig ist. Er ist
> es somit sind die beiden Vektoren in meiner Basismenge. Als
> nächstes schaue ich ob der Vektor (1,1) zu den vorigen Vektoren
> linear unabhängig ist. Muss ich schauen ob die drei zusammen
> dann linear unabhängig oder schauen ob (1,0) und (1,1) sowie
> (0,1) und (1,1) linear unabhängig sind?

Alle drei zusammen müssen linear unabhängig sein, nicht nur je zwei.

> Wenn das letztere, dann wäre doch meine Basismenge die folgende
>
> B= {(0,1),(1,0)}
>
> und ich hätte dann somit nur zwei Basen nämlich
>
> B 1= <(0,1),(1,0)> und B1 = <(1,0),(0,1)>

Es stimmt, dass das eine Basis ist, aber nur eine einzige, da es auf die Reihenfolge (der Elemente in einer Menge) nicht ankommt.

Eine weitere Basis wäre z.B. { (1,0), (1,1) } oder { (0,1),(1,1) } (das sind aber dann auch schon alle).

Wie sieht's mit (b) aus?

Gruß,
Marc.


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Basen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Mo 01.12.2003
Autor: Jessica

Also Marc,

hat alles super geklappt. Hatte dann auch in der zwischen Zeit die anderen zwei Basen gefunden. Die b war dann auch nicht mehr schwer. Habe zum Schluss 12 mögliche Basen von V gefunden.

Danke für die Hilfe

Jessica

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Basen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Mo 01.12.2003
Autor: Marc

Hallo Jessica!

Aufgabenteil (b) war ja noch zweigeteilt, die 12 Basen, die du ausgerechnet hast, sind wahrscheinlich für den zweiten Teil.

Im ersten Teil sind ja bereits zwei Vektoren für die Basis vorgegeben; bei dem dritten ist jetzt nur noch wichtig, dass er als dritte Komponente eine 1 hat, der Rest ist egal. Da es vier Vektoren gibt, die eine 1 als dritte Komponente haben, gibt es auch 4 verschiedene Basen von V, die [mm]e_1[/mm] und [mm]e_2[/mm] enthalten.

Beim zweiten Teil muß man ein bißchen vorsichtig sein, weil wir es ja mit [mm]\IZ_2[/mm] zu tun haben. Zum Beispiel wären die drei Vektoren
(1,1,0), (1,0,1) und (0,1,1) keine Basis von [mm]\IZ_2^3[/mm], obwohl sie ja eine Basis von [mm]\IR^3[/mm] sind.

Leider kommt die schöne Eigenschaft von [mm]\IZ_2[/mm], nämlich dass 1+1=0 ist, hier nicht zum Tragen (weswegen ich mich frage, warum der Vektorraum überhaupt über [mm]\IZ_2[/mm] betrachtet werden sollte); das liegt an dem bereits vorgegebenen Vektor [mm]e_1[/mm].

Die Anzahl von 12 verschiedenen Basen ist meiner Meinung nach korrekt, jedenfalls komme ich auf dieselbe Zahl.

Bis bald,
Marc


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