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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Aufgabe zum Körper(isomorphismus)
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Aufgabe zum Körper(isomorphismus): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:40 Do 13.11.2003
Autor: Laura20

Hallo liebe Wissende!
Folgende Aufgabe bereitet mir echt Schwierigkeiten, obwohl sie angeblich ganz einfach sein soll:

Es sei f: R (pfeil) R die bijektive Abbildung mit f(x)=3x+2. Geben Sie eine "Addition" (+) : RxR (pfeil) R und eine
Multiplikation (*) : RxR (pfeil) R an, so dass (R,(+),(*)) ein Körper ist und die Abbildung f ein Körperisomorphismus f: (R, +, *) (pfeil) (R,(+),(*)) ist.

Annmerkung : R steht für die Menge der reellen Zahlen, (pfeil) heißt, das hier ein Abbildungs(Funktions-)pfeil steht.

Wäre wirklich sehr nett, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte, ich bin kurz vorm verrückt werden wegen dieser Aufgabe.
Vielen lieben Dank schon mal im voraus!

        
Bezug
Aufgabe zum Körper(isomorphismus): (update: 14.11.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:26 Fr 14.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Laura!

Also:

Gesucht ist eine Addition

[mm]\oplus \, : \ \begin{array}{ccc}\mathbb{R}\times\mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\[5pt](x,y) & \mapsto & x \oplus y \end{array}[/mm]

und eine Multiplikation

[mm]\odot \, : \ \begin{array}{ccc}\mathbb{R}\times\mathbb{R} & \to & \mathbb{R}\\[5pt](x,y) & \mapsto & x \odot y\ , \end{array}[/mm]

so dass [mm](\mathbb{R},\oplus,\odot)[/mm] ein Körper und

[mm]f \, : \ \begin{array}{ccc} (\mathbb{R},+,\cdot) & \to & (\mathbb{R},\oplus,\odot)\\[5pt] x & \mapsto & 3\cdot x +2\end{array}[/mm]

ein Körperisomorphismus wird.

Bezeichnet man mit [mm]0_{\mbox{\scriptsize neu}}[/mm] das neutrale Element bezüglich [mm]\oplus[/mm] und mit
[mm]1_{\mbox{\scriptsize neu}}[/mm] das neutrale Element bezüglich [mm]\odot[/mm], dann ist zunächst klar, dass

[mm]0_{\mbox{\scriptsize neu}} = f(0) = 2[/mm]

und

[mm]1_{\mbox{\scriptsize neu}} = f(1)=5[/mm]

gelten muss. Aus den Homomorphismuseigenschaften

[mm]f(x+y) = f(x) \oplus f(y)[/mm]

und

[mm]f(x\cdot y) = f(x) \odot f(y)[/mm]

folgt notwendigerweise:

[mm]3\cdot(x+y)+2 = 3x + 3y + 2 = (3\cdot x + 2) \oplus (3\cdot y + 2)[/mm]

und

[mm]3\cdot (x\cdot y)+2 = (3\cdot x+2) \odot (3\cdot y+2).[/mm]

Substituiert man nun [mm]a=3\cdot x+2[/mm] und [mm]b=2\cdot y+2[/mm], so folgt:

[mm]a \oplus b = a+b-2[/mm]

und

[mm]a \odot b = \frac{(a-2)\cdot(b-2)}{3} + 2.[/mm]

Dadurch sind jetzt eine Addition [mm]\oplus[/mm] und eine Multiplikation [mm]\odot[/mm] definiert. Der Rest ist nur noch Formsache und nahezu trivial.

Ich überlasse es dir zur Übung zu zeigen, dass jetzt [mm](\mathbb{R},\oplus,\odot)[/mm] tatsächlich ein Körper und [mm]f:(\mathbb{R},+,\cdot) \to (\mathbb{R},\oplus,\odot)[/mm] ein Körperisomorphismus (Injektivität und Surjektivität sind trivial) ist.

Melde dich bitte wieder bei Fragen. :-)

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                
Bezug
Aufgabe zum Körper(isomorphismus): (update: 14.11.)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:45 Mi 19.11.2003
Autor: Laura20

Vielen Dank für die schnelle Hilfe Stefan, der Matheraum ist echt spitze. Hab euch schon fleissig weiterempfohlen, kann also sein das ihr bald ne Menge zu tun bekommt ;)
Gruß Laura

Bezug
                        
Bezug
Aufgabe zum Körper(isomorphismus): (update: 14.11.)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:00 Mi 19.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Laura,

deine Reaktion hat mich sehr gefreut. :-) Schön, dass ich dir helfen konnte! Vielen Dank für's Weiterempfehlen! [ok]

Liebe Grüße
Stefan


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