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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion h mit
y = h(x) = sin(x) [mm] \* [/mm] e^cos(x) x ∊ [0;2π]
a) Untersuchen Sie die Funktion h auf Nullstellen! Ermitteln Sie die lokalen Extrema von h sowie deren Art! |
a) Ich habe Probleme bei der notwendigen Bedingung für Extrema:
h'(x) = e^cos(x) * (cos(x) - [mm] (sin(x))^2)
[/mm]
Notwendige Bedingung: h'(x) = 0
e^cos(x) * (cos(x) - [mm] (sin(x))^2) [/mm] = 0 | Nullproduktregel
e^cos(x) ungleich null für alle x
cos(x) - [mm] (sin(x))^2 [/mm] = 0 (1)
da weiß ich nicht weiter, wie ich das rechnen soll.
Ich kann noch anwenden:
1 = [mm] (sin(x))^2 [/mm] + [mm] (cos(x))^2 [/mm] => ich ersetze (1) durch:
0 = cos(x) - 1 + [mm] (cos(x))^2
[/mm]
aber das hilft mir auch nicht weiter.
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Hiho,
> 0 = cos(x) - 1 + [mm](cos(x))^2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber das hilft mir auch nicht weiter.
Nicht?
Also ich erkenne da doch stark eine quadratische Gleichung in [mm] $\cos(x)$.
[/mm]
Substituiere also [mm] $z=\cos(x)$, [/mm] löse die quadratische Gleichung und resubstituiere.
Gruß,
Gono
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0 = [mm] (cos(x))^2 [/mm] + cos(x) - 1 Subst.: z = cos(x)
0 = [mm] z^2 [/mm] + z - 1
TR liefert: z1 = 0,6180339887 z2= -1,618033989
cos(x1) = z1 = 0,6180339887 | cos^-1
x1 = 0,9045568944
cos(x2) = z2 = -1,618033989 | cos^-1
nicht lösbar
Im Graphen sehe ich aber, dass es ein Maximum bei ca. 0,9 gibt und ein Minimum bei ca. 5,4.
Wo kriege ich das Minimum her?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:38 Do 21.01.2021 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> 0 = [mm](cos(x))^2[/mm] + cos(x) - 1 Subst.: z = cos(x)
> 0 = [mm]z^2[/mm] + z - 1
> TR liefert: z1 = 0,6180339887 z2= -1,618033989
>
> cos(x1) = z1 = 0,6180339887 | cos^-1
> x1 = 0,9045568944
Dein TR ist nicht so schlau, er weiß nicht, daß in [0, [mm] 2$\pi$] [/mm] dann auch [mm] 2$\pi$ [/mm] - x1 den gleichen cos-Wert hat. Zumindest sagt er es dir nicht.
> cos(x2) = z2 = -1,618033989 | cos^-1
> nicht lösbar
>
> Im Graphen sehe ich aber, dass es ein Maximum bei ca. 0,9
> gibt und ein Minimum bei ca. 5,4.
> Wo kriege ich das Minimum her?
s. o.
Gruß Dieter
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