Adjungierte Abbildung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir bezeichnen mit $x = [mm] (x_1,x_2,...) [/mm] = [mm] (x_j)_{j=1}^{\infty}, [/mm] \ [mm] x_j \in \IC$ [/mm] für alle $j [mm] \in \IN$, [/mm] eine (unendliche) Folge komplexer Zahlen und mit [mm] $\bar{x} [/mm] = [mm] (\bar{x}_j)_{j=1}^{\infty}$ [/mm] deren komplex konjugierte Folge. Betrachten Sie den (unendlichdimensionalen) unitären Vektorraum
[mm] $l^2 [/mm] = [mm] \left \{ x = (x_j)_{j=1}^{\infty} \ mit \ \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 < \infty \right \}$
[/mm]
mit dem Skalarprodukt
[mm] $<\cdot,\cdot>: l^2 \times l^2 \to \IC, [/mm] (x,y) [mm] \mapsto [/mm] \ <x,y> \ = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}\bar{x}_jy_j$.
[/mm]
(i) Sei $a [mm] \in l^2$. [/mm] Definiere
[mm] $M_a: l^2 \to l^2, [/mm] x [mm] \mapsto (a_jx_j)_{j=1}^{\infty}$.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass [mm] M_a [/mm] wohldefiniert ist, also dass [mm] $M_a(x) \in l^2$ [/mm] für $x [mm] \in l^2$ [/mm] gilt, und dass [mm] $M_a \in L(l^2,l^2)$ [/mm] ist.
(b) Zeigen Sie, dass [mm] M_a [/mm] eine Adjungierte [mm] $M_{a}^{ad}$ [/mm] besitzt und bestimmen Sie diese.
(c) Bestimmen Sie alle $a [mm] \in l^2$ [/mm] für die [mm] M_a [/mm] selbstadjungiert ist.
(ii) Sei
$F : [mm] l^2 \to l^2, [/mm] \ x [mm] \mapsto (x_j [/mm] + [mm] x_{j+1})_{j=1}^{\infty}$
[/mm]
Zeigen Sie, dass F eine Adjungierte besitzt und bestimmen Sie diese. |
Also mein Problem ist, dass sich mir stark der Eindruck aufdrängt, meine Herangehensweise wäre völlig falsch. Denn spätestens bei (ii) fällt mir diese auf die Füße.
Aber der Reihe nach.
(i)
(a)
Also die Wohldefiniertheit ist leicht zu erkennen. Denn wenn $a [mm] \in l^2$ [/mm] und $x [mm] \in l^2$ [/mm] so gilt für a und x
[mm] $\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|^2 [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] sowie [mm] $\sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Damit folgt [mm] $\sum_{j=1}^{\infty}|a_jx_j|^2 [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Wählen wir nun $y = [mm] M_a(x)$ [/mm] so gilt $y [mm] \in l^2$.
[/mm]
Das [mm] M_a [/mm] nun linear ist lässt sich auch ganz schnell zeigen und überspring ich mal eben.
Also JA! [mm] M_a [/mm] ist linear, um das noch festzuhalten.
(b) Nun das was mich etwas... sagen wir irritiert.
Ich wusste zuerst nicht wie ich anfangen sollte. Dann fiel mir ein dass folgendes gilt:
$<f(x), y> = [mm] $
[/mm]
Damit haben wir ja schon mal einen Ansatz, wählen wir nun einfach [mm] $M_{a}^{ad} [/mm] = [mm] (\bar{a}_jx_j)_{j=1}^{\infty}$ [/mm] folgt damit:
[mm] $ [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}\overline{a_jx_j}y_j [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}\bar{x}_j \bar{a}_jy_j [/mm] = [mm] [/mm] = [mm] $
[/mm]
Aber damit habe ich gefühlte 2 Schritte in einem gemacht. Die Existenz einfach gezeigt, indem ich eines gefunden habe. Hab ich da nicht einfach was übersprungen?
Naja erst einmal weiter
(c)
Anhand von (b) lässt sich nun ganz leicht ablesen, wenn a = [mm] \bar{a} [/mm] gilt, also $a [mm] \in \IR$ [/mm] so ist [mm] M_a [/mm] selbstadjungiert. Denn dann gilt nach Rechnung wie in (b):
[mm] $ [/mm] = [mm] $
[/mm]
Nun aber zum Gefühl, mir würde die womöglich falsche Herangehensweise auf die Füße fallen.
Denn wenn ich es wie oben in (b) einfach auseinander forme:
$<F(x), y> = [mm] <(x_j [/mm] + [mm] x_{j+1})_{j=1}^{\infty},y> [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}(\overline{x_j + x_{j+1}})y_j [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}(\bar{x}_jy_j [/mm] + [mm] \bar{x}_{j+1}y_j)$
[/mm]
Komm ich spätestens hier nicht mehr weiter.
Daher meine Annahme ich mach Grundlegend was falsch. Oder ist der Gedanken schon richtig und ich sollte einfach mal weiter formen und probieren?
Vielen Dank für die Hilfe. Liebe Grüße André
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> Wir bezeichnen mit [mm]x = (x_1,x_2,...) = (x_j)_{j=1}^{\infty}, \ x_j \in \IC[/mm]
> für alle [mm]j \in \IN[/mm], eine (unendliche) Folge komplexer
> Zahlen und mit [mm]\bar{x} = (\bar{x}_j)_{j=1}^{\infty}[/mm] deren
> komplex konjugierte Folge. Betrachten Sie den
> (unendlichdimensionalen) unitären Vektorraum
>
> [mm]l^2 = \left \{ x = (x_j)_{j=1}^{\infty} \ mit \ \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 < \infty \right \}[/mm]
>
> mit dem Skalarprodukt
>
> [mm]<\cdot,\cdot>: l^2 \times l^2 \to \IC, (x,y) \mapsto \ \ = \sum_{j=1}^{\infty}\bar{x}_jy_j[/mm].
>
> (i) Sei [mm]a \in l^2[/mm]. Definiere
> [mm]M_a: l^2 \to l^2, x \mapsto (a_jx_j)_{j=1}^{\infty}[/mm].
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]M_a[/mm] wohldefiniert ist, also dass
> [mm]M_a(x) \in l^2[/mm] für [mm]x \in l^2[/mm] gilt, und dass [mm]M_a \in L(l^2,l^2)[/mm]
> ist.
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]M_a[/mm] eine Adjungierte [mm]M_{a}^{ad}[/mm]
> besitzt und bestimmen Sie diese.
> (c) Bestimmen Sie alle [mm]a \in l^2[/mm] für die [mm]M_a[/mm]
> selbstadjungiert ist.
>
> (ii) Sei
>
> [mm]F : l^2 \to l^2, \ x \mapsto (x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass F eine Adjungierte besitzt und bestimmen
> Sie diese.
> Also mein Problem ist, dass sich mir stark der Eindruck
> aufdrängt, meine Herangehensweise wäre völlig falsch.
> Denn spätestens bei (ii) fällt mir diese auf die Füße.
>
> Aber der Reihe nach.
>
> (i)
> (a)
> Also die Wohldefiniertheit ist leicht zu erkennen. Denn
> wenn [mm]a \in l^2[/mm] und [mm]x \in l^2[/mm] so gilt für a und x
> [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|^2 < \infty[/mm] sowie
> [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 < \infty[/mm]
> Damit folgt
> [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|a_jx_j|^2 < \infty[/mm]
> Wählen wir nun [mm]y = M_a(x)[/mm]
> so gilt [mm]y \in l^2[/mm].
>
> Das [mm]M_a[/mm] nun linear ist lässt sich auch ganz schnell zeigen
> und überspring ich mal eben.
> Also JA! [mm]M_a[/mm] ist linear, um das noch festzuhalten.
>
> (b) Nun das was mich etwas... sagen wir irritiert.
> Ich wusste zuerst nicht wie ich anfangen sollte. Dann fiel
> mir ein dass folgendes gilt:
> [mm] = [/mm]
> Damit haben wir ja schon mal
> einen Ansatz, wählen wir nun einfach [mm]M_{a}^{ad} = (\bar{a}_jx_j)_{j=1}^{\infty}[/mm]
> folgt damit:
> [mm] = <(a_jx_j)_{j=1}^{\infty},y> = \sum_{j=1}^{\infty}\overline{a_jx_j}y_j = \sum_{j=1}^{\infty}\bar{x}_j \bar{a}_jy_j = = [/mm]
>
> Aber damit habe ich gefühlte 2 Schritte in einem gemacht.
> Die Existenz einfach gezeigt, indem ich eines gefunden
> habe. Hab ich da nicht einfach was übersprungen?
>
> Naja erst einmal weiter
> (c)
> Anhand von (b) lässt sich nun ganz leicht ablesen, wenn a
> = [mm]\bar{a}[/mm] gilt, also [mm]a \in \IR[/mm] so ist [mm]M_a[/mm] selbstadjungiert.
> Denn dann gilt nach Rechnung wie in (b):
> [mm] = [/mm]
>
>
> Nun aber zum Gefühl, mir würde die womöglich falsche
> Herangehensweise auf die Füße fallen.
> Denn wenn ich es wie oben in (b) einfach auseinander
> forme:
Hallo,
was meinst Du mit "es", was ist F, und wo kommt das erste Gleichheitszeichen her:
>
> [mm] = <(x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty},y> = \sum_{j=1}^{\infty}(\overline{x_j + x_{j+1}})y_j = \sum_{j=1}^{\infty}(\bar{x}_jy_j + \bar{x}_{j+1}y_j)[/mm]
Gruß v. Angela
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> Hallo,
>
> was meinst Du mit "es", was ist F, und wo kommt das erste
> Gleichheitszeichen her:
> >
> > [mm] = <(x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty},y> = \sum_{j=1}^{\infty}(\overline{x_j + x_{j+1}})y_j = \sum_{j=1}^{\infty}(\bar{x}_jy_j + \bar{x}_{j+1}y_j)[/mm]
>
> Gruß v. Angela
Guten Morgen Angela
Na F wurde doch in (ii) definiert mit:
$F: [mm] l^2 \to l^2, [/mm] x [mm] \mapsto (x_j [/mm] + [mm] x_{j+1})_{j=1}^{\infty}$
[/mm]
Und damit folgt halt auch das erste Gleich-Zeichen.
Müsste ich eigentlich in der Aufgabenstellung zu stehen gehabt haben. :)
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> > Hallo,
> >
> > was meinst Du mit "es", was ist F, und wo kommt das erste
> > Gleichheitszeichen her:
> > >
> > > [mm] = <(x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty},y> = \sum_{j=1}^{\infty}(\overline{x_j + x_{j+1}})y_j = \sum_{j=1}^{\infty}(\bar{x}_jy_j + \bar{x}_{j+1}y_j)[/mm]
>
> >
> > Gruß v. Angela
>
> Guten Morgen Angela
>
> Na F wurde doch in (ii) definiert mit:
> [mm]F: l^2 \to l^2, x \mapsto (x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty}[/mm]
>
> Und damit folgt halt auch das erste Gleich-Zeichen.
>
> Müsste ich eigentlich in der Aufgabenstellung zu stehen
> gehabt haben. :)
Oh.
Ich hätte doch lieber nochmal ins Bett gehen sollen...
Gruß v. Angela
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> Wir bezeichnen mit [mm]x = (x_1,x_2,...) = (x_j)_{j=1}^{\infty}, \ x_j \in \IC[/mm]
> für alle [mm]j \in \IN[/mm], eine (unendliche) Folge komplexer
> Zahlen und mit [mm]\bar{x} = (\bar{x}_j)_{j=1}^{\infty}[/mm] deren
> komplex konjugierte Folge. Betrachten Sie den
> (unendlichdimensionalen) unitären Vektorraum
>
> [mm]l^2 = \left \{ x = (x_j)_{j=1}^{\infty} \ mit \ \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 < \infty \right \}[/mm]
>
> mit dem Skalarprodukt
>
> [mm]<\cdot,\cdot>: l^2 \times l^2 \to \IC, (x,y) \mapsto \ \ = \sum_{j=1}^{\infty}\bar{x}_jy_j[/mm].
>
> (i) Sei [mm]a \in l^2[/mm]. Definiere
> [mm]M_a: l^2 \to l^2, x \mapsto (a_jx_j)_{j=1}^{\infty}[/mm].
>
> (a) Zeigen Sie, dass [mm]M_a[/mm] wohldefiniert ist, also dass
> [mm]M_a(x) \in l^2[/mm] für [mm]x \in l^2[/mm] gilt, und dass [mm]M_a \in L(l^2,l^2)[/mm]
> ist.
> (b) Zeigen Sie, dass [mm]M_a[/mm] eine Adjungierte [mm]M_{a}^{ad}[/mm]
> besitzt und bestimmen Sie diese.
> (c) Bestimmen Sie alle [mm]a \in l^2[/mm] für die [mm]M_a[/mm]
> selbstadjungiert ist.
>
> (ii) Sei
>
> [mm]F : l^2 \to l^2, \ x \mapsto (x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty}[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass F eine Adjungierte besitzt und bestimmen
> Sie diese.
> Also mein Problem ist, dass sich mir stark der Eindruck
> aufdrängt, meine Herangehensweise wäre völlig falsch.
> Denn spätestens bei (ii) fällt mir diese auf die Füße.
>
> Aber der Reihe nach.
>
> (i)
> (a)
> Also die Wohldefiniertheit ist leicht zu erkennen. Denn
> wenn [mm]a \in l^2[/mm] und [mm]x \in l^2[/mm] so gilt für a und x
> [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|a_j|^2 < \infty[/mm] sowie
> [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 < \infty[/mm]
> Damit folgt
> [mm]\sum_{j=1}^{\infty}|a_jx_j|^2 < \infty[/mm]
Hallo,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob Deine Chefs bereit sind, dieser Folgerung einfach so zu folgen.
Was machst Du, wenn ich sage: das kann aber unendlich werden.
> Wählen wir nun [mm]y = M_a(x)[/mm]
> so gilt [mm]y \in l^2[/mm].
>
> Das [mm]M_a[/mm] nun linear ist lässt sich auch ganz schnell zeigen
> und überspring ich mal eben.
> Also JA! [mm]M_a[/mm] ist linear, um das noch festzuhalten.
>
> (b) Nun das was mich etwas... sagen wir irritiert.
> Ich wusste zuerst nicht wie ich anfangen sollte. Dann fiel
> mir ein dass folgendes gilt:
> [mm] = [/mm]
> Damit haben wir ja schon mal
> einen Ansatz, wählen wir nun einfach [mm]M_{a}^{ad} = (\bar{a}_jx_j)_{j=1}^{\infty}[/mm]
> folgt damit:
> [mm] = <(a_jx_j)_{j=1}^{\infty},y> = \sum_{j=1}^{\infty}\overline{a_jx_j}y_j = \sum_{j=1}^{\infty}\bar{x}_j \bar{a}_jy_j = = [/mm]
>
> Aber damit habe ich gefühlte 2 Schritte in einem gemacht.
> Die Existenz einfach gezeigt, indem ich eines gefunden
> habe. Hab ich da nicht einfach was übersprungen?
Naja, wenn Du eine Abbildung in den Händen hält, welche wirklich eine Abbildung ist (Wohldefiniertheit) und die nachweislich alles tut, was sie tun soll, dann ist das ja schon ein schlagender Beweis für ihre Existenz, würd' ich sagen.
>
> Naja erst einmal weiter
> (c)
> Anhand von (b) lässt sich nun ganz leicht ablesen, wenn a
> = [mm]\bar{a}[/mm] gilt, also [mm]a \in \IR[/mm] so ist [mm]M_a[/mm] selbstadjungiert.
> Denn dann gilt nach Rechnung wie in (b):
> [mm] = [/mm]
>
>
> Nun aber zum Gefühl, mir würde die womöglich falsche
> Herangehensweise auf die Füße fallen.
> Denn wenn ich es wie oben in (b) einfach auseinander
> forme:
>
> [mm] = <(x_j + x_{j+1})_{j=1}^{\infty},y> = \sum_{j=1}^{\infty}(\overline{x_j + x_{j+1}})y_j = \sum_{j=1}^{\infty}(\bar{x}_jy_j + \bar{x}_{j+1}y_j)[/mm]
>
> Komm ich spätestens hier nicht mehr weiter.
> Daher meine Annahme ich mach Grundlegend was falsch. Oder
> ist der Gedanken schon richtig und ich sollte einfach mal
> weiter formen und probieren?
Mir fehlen zum Thema Erinnerungen und schlaue Bücher in Griffbereitschaft.
Deshalb nur ganz vage, auf die Gefahr hin, daß ich völlig danebenliege:
zeigt man die Existenz einer adjungierten Abbildung nicht irgendwie mit dem Darstellungssatz und gewinnt man auf dem Weg nicht auch die adjungierte Abbildung?
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank für die Hilfe. Liebe Grüße André
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> Hallo,
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> ich bin mir nicht ganz sicher, ob Deine Chefs bereit sind,
> dieser Folgerung einfach so zu folgen.
> Was machst Du, wenn ich sage: das kann aber unendlich
> werden.
Hmm, wie wärs mit:
[mm] $\sum_{j=1}^{\infty}|a_jx_j|^2 [/mm] = [mm] \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|^2|x_j|^2 \leq \sum_{j=1}^{\infty}|a_j|^2 \cdot \sum_{j=1}^{\infty}|x_j|^2 [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Wobei die letzte Ungleichung aus der Beschränktheit von a und x folgt. So ist deren Multiplikation ebenfalls beschränkt.
Macht das mehr Sinn?
Was (ii) angeht hab ich immernoch keine Idee.
Ich würde ja behaupten, da wir nix basteln können ohne eine Abhängigkeit von x einzubauen, existiert kein [mm] F^{ad}(y).
[/mm]
Aber das wird wohl nichts...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Do 26.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Da [mm] a=(a_1,a_2,...) \in l^2, [/mm] gibt es ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit [mm] |a_n| \le [/mm] c für jedes n
Damit ist
[mm] $|a_jx_j|^2 \le c^2|x_j|^2$
[/mm]
Nach dem Majorantenkrit. ist [mm] \sum |a_jx_j|^2 [/mm] konvergent.
Zu ii) Die Abbildung F lässt sich schreiben als F=Id+G, wobei
[mm] $G(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...):= [mm] (x_2,x_3,...)$
[/mm]
Nun zeige, dass die Adjungierte von G gegeben ist durch
[mm] $(x_1,x_2,x_3, [/mm] ...) [mm] \to (0,x_1,x_2,x_3,...)$
[/mm]
FRED
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