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| Aufgabe | | Sei [mm] \tau [/mm] eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Iterationen im Algorithmus angibt, d.h. es gibt den Zeitpunkt an, an dem zum ersten Mal gestoppt wird. bestimmen Sie die Verteilung und den Erwartungswert von [mm] \tau. [/mm] Geben Sie dabei alle auftretenden Variablen explizit an. |
Hallo :)
Ich habe folgendes gemacht:
P(U [mm] \leq \frac{f(X)}{Mg(X)}) [/mm] = [mm] \int [/mm] P (U [mm] \leq \frac{f(x)}{Mg(x)} [/mm] | X = x) g(x) dx = [mm] \int \int_{0}^{1} 1_{u \leq \frac{f(x)}{Mg(x)}} [/mm] du g(x) dx
Wenn ich das ausrechne, komme ich auf 1/M. Stimmt das soweit?
Dann wurde die Stoppzeit definiert als
[mm] \tau [/mm] = [mm] inf\{n \in \mathbb{N} : U_{n} \leq \frac{f(X_{n}}{Mg(X_{n}}\}
[/mm]
Nur wie kriege ich jetzt hier die Verteilung. Laut googeln soll es geometrisch verteilt sein, aber wie zeige ich das. Und wie soll ich jetzt den Erwartungswert bekommen?
Kann mir da jemand helfen?
Vielen Dank für jede Hilfe :)
LG
Hier eine Beschreibung des Algorithmus:
Im Accept-Reject-Algorithmus wird eine Zufallsvariable X konstruiert, die gemäß einer vorgegebenen Dichte f verteilt ist. Dabei wird eine bekannte und leicht zu simulierende Dichte g benötigt, so dass
M = [mm] sup_{x} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
gilt. In dem Algorithmus werden zunächst U [mm] \sim [/mm] U(0,1) und X [mm] \sim [/mm] g erzeugt, und anschließend wir die Bedingung
U < [mm] \frac{f(X)}{Mg(X)} [/mm]
überprüft.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mi 19.05.2021 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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