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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:41 Mo 16.01.2006 | | Autor: | roflinchen |
| Aufgabe | Ein Sportflugzeug und ein Militärflugzeug befinden sich auf geradlinigem Kurs. Im örtlichen Koordinatensystem der Flugsicherungsstelle gelten die Angaben der Tabelle.
Sportflugzeug:
Ort zum Zeitpunkt Null: A(0/4/2) (Angaben in km)
Geschwindigkeitsvektor: [mm] \overrightarrow{v} [/mm] = [mm] \vektor{200\-100\0} [/mm] (Angaben in km [mm] h^{-1}
[/mm]
Militärflugzeug:
Ort zum Zeitpunkt Null: B(3/0/3)
Geschwindigkeitsvektor: [mm] \overrightarrow{w} [/mm] = [mm] \vektor{0\500/-100}
[/mm]
a) Berechne den Abstand der beiden Flugrouten.
b) Gib die Punkte P und Q auf den Flugrouten an, deren Abstand gleich dem Abstand der Flugrouten ist. Wann erreichen die Flugzeuge die Punkte P bzw. Q?
c) Bestimme die kleinste Entfernung der beiden Flugzeuge. |
hi,
ich hoffe ihr könnt mir helfen.
bei teilaufgabe a habe ich glaube ich die lösung rausbekommen.
ich habe die punkte als ortsvektoren und die geschwindigkeitsvektoren als richtungsvektoren meiner geraden genommen.
durch ein gleichungssystem habe ich für r=-0,01 und für [mm] s=5,24*10^{-3} [/mm] rausbekommen.
dadurch habe ich dann den betrag des abstandes berechnet (5,56km).
ich hoffe das ist richtig.
bei aufgabe b und c habe ich leider keine ahnung wie ich das berechnen soll.
lg
roflinchen
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Hallo roflinchen,
> Ein Sportflugzeug und ein Militärflugzeug befinden sich auf
> geradlinigem Kurs. Im örtlichen Koordinatensystem der
> Flugsicherungsstelle gelten die Angaben der Tabelle.
>
> Sportflugzeug:
> Ort zum Zeitpunkt Null: A(0/4/2) (Angaben in km)
> Geschwindigkeitsvektor: [mm]\overrightarrow{v}[/mm] =
> [mm]\vektor{200\-100\0}[/mm] (Angaben in km [mm]h^{-1}[/mm]
der Geschwindigkeitsvektor soll doch so lauten:
[mm]\vektor{200\\-100\\0}[/mm]
>
> Militärflugzeug:
> Ort zum Zeitpunkt Null: B(3/0/3)
> Geschwindigkeitsvektor: [mm]\overrightarrow{w}[/mm] =
> [mm]\vektor{0\500/-100}[/mm]
der Geschwindigkeitsvektor soll doch so lauten:
[mm]\vektor{0\\500\\-100}[/mm]
>
> a) Berechne den Abstand der beiden Flugrouten.
> b) Gib die Punkte P und Q auf den Flugrouten an, deren
> Abstand gleich dem Abstand der Flugrouten ist. Wann
> erreichen die Flugzeuge die Punkte P bzw. Q?
> c) Bestimme die kleinste Entfernung der beiden Flugzeuge.
> hi,
> ich hoffe ihr könnt mir helfen.
> bei teilaufgabe a habe ich glaube ich die lösung
> rausbekommen.
> ich habe die punkte als ortsvektoren und die
> geschwindigkeitsvektoren als richtungsvektoren meiner
> geraden genommen.
> durch ein gleichungssystem habe ich für r=-0,01 und für
> [mm]s=5,24*10^{-3}[/mm] rausbekommen.
Stimmt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dadurch habe ich dann den betrag des abstandes berechnet
> (5,56km).
Da habe ich etwas anderes heraus.
> ich hoffe das ist richtig.
> bei aufgabe b und c habe ich leider keine ahnung wie ich
> das berechnen soll.
Zu b)
Da Du in Geradengleichungen erstellt hast und in a) das entstehende Gleichungssystem gelöst hast, brauchst Du nur die Paramter r,s in die zugehörige Geradengleichung einsetzen und das sind dann die gesuchten Punkte P und Q.
Gruß
MathePower
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hi,
stimmt...bei den ortsvektoren hab ich wohl irgendwie ziemlich vertippt...danke 
ich komm leider nicht auf meinen fehler. ich habe r und s in die jeweilige gleichung eigesetzt und damit [mm] \overrightarrow{f _{g}} [/mm] und [mm] \overrightarrow{f _{h}} [/mm] ausgerechnet...die dann ja zugleich die ortsvektoren der gesuchten punkte von b sein müssten...also bei g (-2/5/2) und bei h (3/2,62/2,48)...danach habe ich die beiden berechneten vektoren voneinander abgezogen, also h minus g...da habe ich den vektor (5/-2,38/0,48) raus...und davon dann das skalarprodukt 5,56...iregendwo hierbei muss ich einen fehler gemacht haben...oder ist der weg sogar falsch?
vielen dank für deine hilfe
roflinchen
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Hallo roflinchen,
> hi,
> stimmt...bei den ortsvektoren hab ich wohl irgendwie
> ziemlich vertippt...danke
> ich komm leider nicht auf meinen fehler. ich habe r und s
> in die jeweilige gleichung eigesetzt und damit
> [mm]\overrightarrow{f _{g}}[/mm] und [mm]\overrightarrow{f _{h}}[/mm]
> ausgerechnet...die dann ja zugleich die ortsvektoren der
> gesuchten punkte von b sein müssten...also bei g (-2/5/2)
Hier liegt der Hund begraben. Für den Punkt auf der Geraden g habe ich etwas anderes heraus.
> und bei h (3/2,62/2,48)...danach habe ich die beiden
> berechneten vektoren voneinander abgezogen, also h minus
> g...da habe ich den vektor (5/-2,38/0,48) raus...und davon
Das kannst Du leicht nachprüfen, denn der Abstandsvektor muß senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren der Geraden stehen.
> dann das skalarprodukt 5,56...iregendwo hierbei muss ich
> einen fehler gemacht haben...oder ist der weg sogar
> falsch?
Der Weg ist vollkommen richtig.
Gruß
MathePower
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Ich habe das jetzt noch mal nachgerechnet und r ein bisschengenauer bestimmt...da habe ich jetzt [mm] -14,75*10^{-3} [/mm] raus und damit für den punkt auf g (-2,95/5,48/2)...
dann hab ich als ergebnis 6,62km...
kann das eventuell richtig sein?
lg
roflinchen
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Hallo roflinchen,
> Ich habe das jetzt noch mal nachgerechnet und r ein
> bisschengenauer bestimmt...da habe ich jetzt [mm]-14,75*10^{-3}[/mm]
> raus und damit für den punkt auf g (-2,95/5,48/2)...
> dann hab ich als ergebnis 6,62km...
> kann das eventuell richtig sein?
Nein ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") .
Zur Berechnung der gesuchten Parameter r und s verwendest Du diese Geraden:
[mm]
\begin{gathered}
g:\;\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
4 \\
2 \\
\end{array} } \right)\; + \;r\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{200} \\
{ - 100} \\
0 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
h:\;\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
0 \\
3 \\
\end{array} } \right)\; + \;s\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{500} \\
{ - 100} \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Während Du zur Berechnung der beiden Punkte diese Geraden verwendest:
[mm]
\begin{gathered}
g:\;\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
4 \\
2 \\
\end{array} } \right)\; - \;r\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
{200} \\
{ - 100} \\
0 \\
\end{array} } \right) \hfill \\
h:\;\overrightarrow x \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 \\
0 \\
3 \\
\end{array} } \right)\; + \;s\;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
{500} \\
{ - 100} \\
\end{array} } \right) \hfill \\
\end{gathered}
[/mm]
Zur Berechnung der Punkte auf den Geraden g und h sollen schon dieselben Geraden verwendet werden, wie bei der Berechung der Parameter r und s.
Gruß
MathePower
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ich hab das jetzt mal so eingetippt und da für den punkt auf g (2/3/2) raus wenn ich für r=-0,01 nehme...ich habe jetzt aber noch nicht verstanden warum ich -r in der gleichung rechnen muss und nicht + so wie bei s...
wenn ich damit den abstand berechne kommt bei mir [mm] \wurzel{1,5} [/mm] raus...
lg roflinchen
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Hallo roflinchen,
> ich hab das jetzt mal so eingetippt und da für den punkt
> auf g (2/3/2) raus wenn ich für r=-0,01 nehme...ich habe
> jetzt aber noch nicht verstanden warum ich -r in der
> gleichung rechnen muss und nicht + so wie bei s...
> wenn ich damit den abstand berechne kommt bei mir
> [mm]\wurzel{1,5}[/mm] raus...
ich habe Deine Rechnung nach gerechnet, und bin zu dem Schluss gekommen, daß Du bei der Berechnung des Punktes auf g "-" statt "+" verwendet hast.
Natürlich solltest Du "+" verwenden, da die Gerade g so definiert worden ist.
Gruß
MathePower
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hi mathepower,
vielen dank...also ich habe jetzt meinen fehler endlich gefunden...ich habe als abstand 0,48854km raus und bei b für die punkte Pg(2,95/2,52/2) Qh(3/2,62/2,48)...das müsste jetzt so stimmen...hoffe ich...
mein einziges problem dabei ist, dass ich ja für [mm] r=-14,74*10^{-3} [/mm] raus hatte und dieses ergebnis nur raus kommt wenn man das - wegfallen lässt...ich frage mich nun warum man das wegfallen lassen darf, oder eher muss?
und wie komme ich darauf wann genau die flugzeuge die punkte erreichen? muss ich da den abstand zwischen den beiden punkten berechnen?
vielen dank für deine liebe hilfe...das hat mir schon wahnsinnig viel weitergeholfen
lg
roflinchen
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Hallo roflinchen,
> hi mathepower,
> vielen dank...also ich habe jetzt meinen fehler endlich
> gefunden...ich habe als abstand 0,48854km raus und bei b
> für die punkte Pg(2,95/2,52/2) Qh(3/2,62/2,48)...das müsste
> jetzt so stimmen...hoffe ich...
In Anbetracht der Genauigkeit stimmt das
Ich habe exakt gerechnet:
[mm]r\;=\;\bruch{31}{2100}[/mm]
[mm]s\;=\;\bruch{11}{2100}[/mm]
Damit kommen 487,95 m heraus.
> mein einziges problem dabei ist, dass ich ja für
> [mm]r=-14,74*10^{-3}[/mm] raus hatte und dieses ergebnis nur raus
> kommt wenn man das - wegfallen lässt...ich frage mich nun
> warum man das wegfallen lassen darf, oder eher muss?
Bei mir sind die Parameter r und s > 0.
> und wie komme ich darauf wann genau die flugzeuge die
> punkte erreichen? muss ich da den abstand zwischen den
> beiden punkten berechnen?
Nein, viel einfacher. Das sind naemlich Deine Parameter r und s die Du herausbekommen hast. Die musst Du nur in Stunden umrechnen.
>
> vielen dank für deine liebe hilfe...das hat mir schon
> wahnsinnig viel weitergeholfen
>
> lg
> roflinchen
Gruß
MathePower
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hi mathepower,
endlich hab ichs richtig *freu*
also bei b hab ich jetzt für g=53,136sekunden und für h=18,864 sekunden raus...kann das stimmen?
bei c muss ich wohl beweisen, dass das der kürzeste abstand ist, denn ich dachte ich hätte mit diesem rechenweg schon den kürzesten abstand berechnet...
lg
roflinchen
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Hallo roflinchen,
> hi mathepower,
> endlich hab ichs richtig *freu*
> also bei b hab ich jetzt für g=53,136sekunden und für
> h=18,864 sekunden raus...kann das stimmen?
In Anbetracht der Genauigkeit stimmt das.
> bei c muss ich wohl beweisen, dass das der kürzeste
> abstand ist, denn ich dachte ich hätte mit diesem rechenweg
> schon den kürzesten abstand berechnet...
Da musst Du allgemein ansetzen. Die Geradengleichungen sind hier von einander zu subtrahieren. Das Abstandsquadrat zu bilden und zu minimieren. Aus dem entstehenden Gleichungssystem kannst Du dann schon was erkennen.
Gruß
MathePower
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