Abstand Punkt Eben Gerade < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:25 Do 16.02.2006 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Durch den Punkt A(1;-1;2) verlaufen 2 Geraden g1 und g2.
Die Gerade g1 ist parallel zu [mm] \vec{r}=[1,-2,1]^T [/mm] . Die Gerade g2 verläuft parallel zur x-y-Ebene und senkrecht zu g1.
a) Welche der beiden Geraden hat zum Punkt P(1;2;3) den kleineren Abstand?
b) Welchen Abstand hat der Punkt Q(2;3;2) von der Ebene E, in der g1 und g2 liegen? |
grundlegendes
g1 [mm] \parallel \vec{r}
[/mm]
g1 [mm] \perp [/mm] g2 ->orthogonal
...
-> g1= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1}t
[/mm]
a)
-> [mm] g1^T [/mm] g2 !=0
[mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2}^T [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] !=0
[mm] x_{1}-2 x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1}=2s [/mm] , wenn [mm] x_{2}=s
[/mm]
-> -> g1= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 0}s
[/mm]
Abstand der Punkte g1 und g2 von P:
P(1;2;3)
Abstandsdormel: d= [mm] \bruch{| x_{1}- x_{0} \times \vec{v}|}{\vec{v}}
[/mm]
-> Abstand g1 von P = [mm] \bruch{ \wurzel{35}}{ \wurzel{6}} \approx [/mm] 2,4
-> Abstand g2 von P = [mm] \bruch{ \wurzel{41}}{ \wurzel{5}} \approx [/mm] 2,8
b)
hierfür fehlt mir ein Ansatz ..... wofür ich sehr dankbar wäre 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Do 16.02.2006 | | Autor: | riwe |
normalenvektor der ebene bilden: [mm] \vec{n}= \vektor{1 \\-2\\1}\times \vektor{2\\ 1\\0}, [/mm] A ist bekannt, und in HNF den punkt Q einsetzen.
werner
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