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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Do 31.05.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | Sei [mm] I=[a,b]\subset\mathbb [/mm] R ein kompaktes Intervall und [mm] p\in (1,\infty [/mm] ). Zeigen Sie:
Es existiert ein C>0, so dass für alle [mm] u\in C^1(I) [/mm] mit u(a)=0 gilt [mm] ||u||_p \leq C\cdot ||u'||_p
[/mm]
Tipp: Aus der Hölder-Ungleichung folgt [mm] \int_a^b [/mm] u(t)dt [mm] \leq (b-a)^{\frac{p-1}{p}} ||u||_p [/mm] |
Mir fehlt hier irgendwie ein Ansatz. Ich habe schon einige Versuche gemacht durch direktes Rechnen eine Abschätzung für C zu finden, aber irgendwie komme ich nie weiter.
z.B. durch äquivalentes Umformen habe ich versucht abzuschätzen:
[mm] ||u||_p \leq [/mm] C [mm] ||u'||_p \leq [/mm] C [mm] \left( (b-a)^{\frac{p-1}{p}}\cdot ||(u')^p||_p\right)^{1/p}
[/mm]
Letztlich fehlt mir immer eine Idee wie ich die Voraussetzung u(a)=0 einbringen soll und wie ich [mm] ||u||_p [/mm] und [mm] ||u'||_p [/mm] in eine Beziehung setzen kann.
Hat vielleicht jemand einen Tipp wie ich ansetzen kann?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Fr 01.06.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
verwende das [mm] u(x)=\integral_{a}^{x}{u'(\xi) d\xi} [/mm] gilt (hier geht auch u(a)=0 ein).
Daraus folgt
[mm] \left|u(x)\right|^p=\left|\integral_{a}^{x}{u'(\xi) d\xi}\right|^p\le \left( \integral_{a}^{b}\left|{u'(\xi)\right| d\xi} \right)^p
[/mm]
Nun den Tipp auf u' anwenden ergibt
[mm] \left|u(x)\right|^p\le (b-a)^{p-1} ||u'||_p^p
[/mm]
Integration über x ergibt [mm] ||u||_p^p\le (b-a)^p||u'||_p^p [/mm] also die Behauptung.
das Ganze läuft unter dem Namen Poincaré-Ungleichung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Fr 01.06.2012 | | Autor: | adefg |
Wow, das ist ja super einfach [mm] o_o
[/mm]
Danke!
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