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Gleichungen Textaufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Di 09.11.2004
Autor: LiL

Huhu :)
Ich hab ein Problem mit 2 Aufgaben aus meinem Mathebuch, die ich nicht verstehe!

1.):

Bei einer zweistelligen Zahl unterscheiden sich die Ziffern um 2.
Vertauscht man die Ziffern, so entsteht eine um 18 größere Zahl.
Wie heißt die Zahl?


2.):

Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9.
Verdoppelt man die Einerziffer, so hat die neue Zahl die Quersumme 13.
Wie heißt die ursprüngliche Zahl?

Bitte helft mir!

        
Bezug
Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Di 09.11.2004
Autor: Marcel

[huhu],

> Huhu :)
>  Ich hab ein Problem mit 2 Aufgaben aus meinem Mathebuch,
> die ich nicht verstehe!
>  
> 1.):
>  
> Bei einer zweistelligen Zahl unterscheiden sich die Ziffern
> um 2.
>  Vertauscht man die Ziffern, so entsteht eine um 18 größere
> Zahl.
>  Wie heißt die Zahl?
>  
>
> 2.):
>  
> Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9.
>  Verdoppelt man die Einerziffer, so hat die neue Zahl die
> Quersumme 13.
>  Wie heißt die ursprüngliche Zahl?

Ich gebe dir mal einen Ansatz zur ersten, dann versuchst du dich mal an der zweiten:
Eine zweistellige Zahl hat die Darstellung:
$10x+y$, wobei [mm] $x,y\in\{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$, $x\not=0$ [/mm]
Da wir später auch die Ziffern vertauschen sollen, und das dann auch eine zweistellige Zahl sein soll, schreiben wir an dieser Stelle aber schon:
Wobei: [mm] $x,y\in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$ [/mm]

Dass die Ziffern sich um zwei unterscheiden, heißt nichts anderes als:
[mm] $(\star)$ [/mm] $|x-y|=2$
Wenn man die Ziffern vertauscht, so soll eine um 18 größere Zahl entstehen, das heißt aber:
[mm] $(\star \star)$ $\underbrace{(10y+x)}_{das\;ist\;die\;Zahl,\;\,nachdem\;die\;Ziffern\;vertauscht\;wurden}-\underbrace{(10x+y)}_{urspruengliche\;Zahl}=18$ [/mm]

So, damit man in [mm] $(\star)$ [/mm] keine Fallunterscheidung machen muss, überlegen wir noch ein bisschen:
Wäre $x>y$ (mit [mm] $x,y\in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$), [/mm] so wäre sicherlich die Zahl, die man nach dem Vertauschen der Ziffern erhält, kleiner als die ursprüngliche Zahl. Also muss wegen dem Satz:

> Vertauscht man die Ziffern, so entsteht eine um 18 größere
> Zahl.

hier auch $x [mm] \le [/mm] y$ gelten.

Fazit:
Es sind folgende Gleichungen zu erfüllen:
[mm] $(\star)$ [/mm] $y-x=2$
[mm] $(\star \star)$ [/mm] $(10y+x)-(10x+y)=18$
(mit [mm] $x,y\in\{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$) [/mm]

Und? Eine Idee, wie's weitergeht?

Liebe Grüße,
Marcel

Bezug
        
Bezug
lösung 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Mi 10.11.2004
Autor: Fragezeichen


> Eine zweistellige Zahl hat die Quersumme 9.
>  Verdoppelt man die Einerziffer, so hat die neue Zahl die
> Quersumme 13.
>  Wie heißt die ursprüngliche Zahl?

>

Du bildest 2 Gleichungen, da du nur 2 Variable hast kannst du dann das Lineare Gleichungssystem eindeutig lösen.

Du hast gegeben das die Quersummer einer Zahl 9 ist.

also wenn die Zahl xy heist ergibt dies die Gleichung 1. x+y=9
wenn du jetzt die 2te Zahl in meinem Fall y (also die Einzerziffer weil x ja den Zehner repräsentiert) verdoppelst erhöht sich die Quersumme auf 13.
Dann ergibt sich: x+2y=13

Damit haben wir die 2 Gleichungen

1.x + y = 9
2. x+2y=13

jetzt ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten ab um das x zu eliminieren. Also
(2. - 1.)  x +2y=13
             -x - y  = -9
-------------------------
               0+  y = __

jetzt setzt du nur y weder in eine der beiden Gleichungen ein, errechnest x und schon hast du deine 2-stellige Zahl. Viel Spass dabei, Marion

Bezug
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